Ý tưởng giống như bài của David Wind ở đây:
https://diendan.hocmai.vn/threads/bai-toan-ve-day-so-to-hop.859888/
Bây giờ tất cả các số tự nhiên thỏa mãn đề bài sẽ có dạng [imath]\overline{abcd}[/imath], với [imath]0 \leq a \leq 4, 0 \leq b,c,d \leq 9[/imath] và [imath]4 \mid a+b+c+d[/imath]
Khi đó xét đa thức [imath]P(x)=(x^0+x+x^2+x^3+x^4)(x^0+x^1+x^2+...+x^9)(x^0+x^1+x^2+...+x^9)(x^0+x^1+x^2+...+x^9)=(x^0+x+x^2+x^3+x^4)(x^0+x^1+x^2+...+x^9)^3[/imath]
Số số thỏa mãn đề bài sẽ chính là tổng các hệ số bậc chia hết cho [imath]4[/imath] trong khai triển của [imath]P(x)[/imath]
Để tính được tổng đó thì ta cần sử dụng định lý RUF (root of unity filter) sau:
Áp dụng định lý, với [imath]z=-i[/imath] thì ta sẽ được số số thỏa mãn là [imath]\dfrac{P(1)+P(-1)+P(-i)+P(i)}{4}[/imath]
Ta có [imath]P(1)=5 \cdot 10^3, P(-1)=0[/imath].
Viết lại [imath]P(x)=\dfrac{x^5-1}{x-1} \cdot (\dfrac{x^{10}-1}{x-1})^3[/imath]
[imath]\Rightarrow P(i)=\dfrac{i^5-1}{i-1} \cdot (\dfrac{i^{10}-1}{i-1})^3=\dfrac{i^4\cdot i-1}{i-1} \cdot (\dfrac{(-1)^5-1}{i-1})^3=\dfrac{i-1}{i-1} \cdot (\dfrac{2}{1-i})^3=(i+1)^3=-2+2i[/imath]
Tương tự [imath]P(-i)=-2-2i \Rightarrow[/imath] Số số thỏa mãn bằng [imath]1249[/imath].
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
