Toán 11 Tính tổng các tổ hợp, nhờ biến đổi số hạng tổng quát đưa về dạng cơ bản của khai triển

[azura.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. [imath]S=\dfrac{C_n^0}{1}+\dfrac{C_n^1}{2}+...+\dfrac{C_n^n}{n+1}[/imath]
2. [imath]S=C_0^n-\dfrac{C_1^n}{2}+...+(-1)^n\dfrac{C_n^n}{n+1}[/imath]
Mọi người giúp em với ạ

 

[7 1 2 5]

1. Nhận thấy với [imath]0 \leq i \leq n[/imath] ta có: [imath]\dfrac{C_n^i}{i+1}=\dfrac{n!}{i!(n-i)!(i+1)}=\dfrac{n!}{(i+1)!(n-i)!}=\dfrac{1}{n+1}\cdot \dfrac{(n+1)!}{(i+1)!(n-i)!}=\dfrac{C_{n+1}^{k+1}}{n+1}[/imath]
Từ đó [imath]S=\dfrac{C_n^0}{1}+\dfrac{C_n^1}{2}+...+\dfrac{C_n^n}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}(C_{n+1}^1+C_{n+1}^2+...+C_{n+1}^{n+1})=\dfrac{1}{n+1}\cdot (2^{n+1}-1)[/imath]
2. Nhận thấy với [imath]0 \leq i \leq n[/imath] ta có: [imath](-1)^i\dfrac{C_n^i}{i+1}=(-1)^i\cdot \dfrac{n!}{i!(n-i)!(i+1)}=(-1)^i \dfrac{n!}{(i+1)!(n-i)!}=\dfrac{(-1)^i}{n+1}\cdot \dfrac{(n+1)!}{(i+1)!(n-i)!}[/imath]
[imath]=-\dfrac{1}{n+1}(-1)^{i+1}(C_{n+1}^{i+1}[/imath]
Từ đó [imath]S=C_0^n-\dfrac{C_1^n}{2}+...+(-1)^n\dfrac{C_n^n}{n+1}=\dfrac{-1}{n+1}[(-1)C_{n+1}^1+(-1)^2C_{n+1}^2+...+(-1)^{n+1}C_{n+1}^{n+1}][/imath]
[imath]=-\dfrac{1}{n+1}[(1-1)^{n+1}-1^{n+1}]=\dfrac{1}{n+1}[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Tổ hợp xác suất