- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Cho tích phân của hàm trị tuyệt đối như sau: [tex]\int_{a}^{b}|f(x)|dx[/tex] , để tính được ta cần chia khoảng để phá trị tuyệt đối. Giả sử trên khoảng (a;b), [TEX]f(x)=0[/TEX] có các nghiệm đơn [TEX]c_1, c_2...,c_n[/TEX]
Ta có: [tex]\int_{a}^{b}|f(x)|dx=\int_{a}^{c_1}|f(x)|dx+\int_{c_1}^{c_2}|f(x)|dx+....+\int_{c_n}^{b}|f(x)|dx[/tex]
Sau đó tùy vào dấu của f(x) trên từng khoảng đã chia, ta sẽ phá dấu giá trị tuyệt đối. Thông thường hay gặp nhất là pt [TEX]f(x)=0[/TEX] có 1 nghiệm.
* Tính các tích phân sau:
a. [tex]I=\int_{2}^{4}|x^2-4x+3|dx[/tex]
Giải: [TEX]x^2-4x+3=0<=>x=1,x=3[/TEX]
Vậy chia khoảng (2;3),(3;4)
[tex]I=\int_{2}^{3}|x^2-4x+3|dx+\int_{3}^{4}|x^2-4x+3|dx=-\int_{2}^{3}x^2-4x+3dx+\int_{3}^{4}x^2-4x+3dx=(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x)|_{3}^{4}-(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x)|_{2}^{3}=2[/tex]
b. [tex]I=\int_{-3}^{3}|x^2-4|dx[/tex]
Giải:[TEX]x^2-4=0<=>x=2;x=-2[/TEX]
Vậy [tex]I=\int_{-3}^{-2}|x^2-4|dx+\int_{-2}^{2} |x^2-4|dx+\int_{2}^{3}|x^2-4|dx[/tex]
=[tex](\frac{x^3}{3}-4x)|_{-3}^{-2}-(\frac{x^3}{3}-4x)|_{-2}^{2}+(\frac{x^3}{3}-4x)|_{2}^{3}[/tex]
=[tex]\frac{46}{3}[/tex]
c. [tex]I=\int_{0}^{\pi }\sqrt{2+2cos2x}dx[/tex]
giải: [TEX]2+2cos2x=2+2(2cos^2x-1)=4cos^2x[/TEX]
=> [tex]I=\int_{0}^{\pi }2|cosx|dx[/tex]
cosx=0<=>[tex]x=\frac{\pi }{2}[/tex]
=>[tex]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }2|cosx|dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }2|cosx|dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }2cosxdx-\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }2cosxdx[/tex]
=[tex]sinx|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-sinx|_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }[/tex]
=2
* Chú ý: tích phân của hàm trị tuyệt đối trong khoảng (a;b) luôn có giá trị không âm, nên nếu tính ra giá trị âm, thì tức là ta đã bị sai dấu ở đâu đó, cần kiểm tra lại.
d. [tex]I=\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\sqrt{tan^2x-2+cot^2x}dx[/tex]
Ta có: [tex]tan^2x-2+cot^2x=tan^2x-2tanxcotx+cot^2x=(tanx-cotx)^2[/tex]
=>[tex]I=\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\sqrt{(tanx-cotx)^2}dx=\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}|tanx-cotx|dx[/tex]
=[tex]\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}|\frac{sinx}{cosx}-\frac{cosx}{sinx}|dx=\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}|\frac{sin^2x-cos^2x}{sinxcosx}|dx=2\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}|\frac{cos2x}{sin2x}|dx[/tex]
[tex]x\epsilon (\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{3})=>2x\epsilon (\frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3})[/tex]
=>[tex]I=2\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}|\frac{cos2x}{sin2x}|dx+2\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}|\frac{cos2x}{sin2x}|dx=2\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{cos2x}{sin2x}dx-2\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{cos2x}{sin2x}dx[/tex]
=[tex]lnsin2x|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}-lnsin2x_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}[/tex]
Ta có: [tex]\int_{a}^{b}|f(x)|dx=\int_{a}^{c_1}|f(x)|dx+\int_{c_1}^{c_2}|f(x)|dx+....+\int_{c_n}^{b}|f(x)|dx[/tex]
Sau đó tùy vào dấu của f(x) trên từng khoảng đã chia, ta sẽ phá dấu giá trị tuyệt đối. Thông thường hay gặp nhất là pt [TEX]f(x)=0[/TEX] có 1 nghiệm.
* Tính các tích phân sau:
a. [tex]I=\int_{2}^{4}|x^2-4x+3|dx[/tex]
Giải: [TEX]x^2-4x+3=0<=>x=1,x=3[/TEX]
Vậy chia khoảng (2;3),(3;4)
[tex]I=\int_{2}^{3}|x^2-4x+3|dx+\int_{3}^{4}|x^2-4x+3|dx=-\int_{2}^{3}x^2-4x+3dx+\int_{3}^{4}x^2-4x+3dx=(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x)|_{3}^{4}-(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x)|_{2}^{3}=2[/tex]
b. [tex]I=\int_{-3}^{3}|x^2-4|dx[/tex]
Giải:[TEX]x^2-4=0<=>x=2;x=-2[/TEX]
Vậy [tex]I=\int_{-3}^{-2}|x^2-4|dx+\int_{-2}^{2} |x^2-4|dx+\int_{2}^{3}|x^2-4|dx[/tex]
=[tex](\frac{x^3}{3}-4x)|_{-3}^{-2}-(\frac{x^3}{3}-4x)|_{-2}^{2}+(\frac{x^3}{3}-4x)|_{2}^{3}[/tex]
=[tex]\frac{46}{3}[/tex]
c. [tex]I=\int_{0}^{\pi }\sqrt{2+2cos2x}dx[/tex]
giải: [TEX]2+2cos2x=2+2(2cos^2x-1)=4cos^2x[/TEX]
=> [tex]I=\int_{0}^{\pi }2|cosx|dx[/tex]
cosx=0<=>[tex]x=\frac{\pi }{2}[/tex]
=>[tex]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }2|cosx|dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }2|cosx|dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }2cosxdx-\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }2cosxdx[/tex]
=[tex]sinx|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-sinx|_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }[/tex]
=2
* Chú ý: tích phân của hàm trị tuyệt đối trong khoảng (a;b) luôn có giá trị không âm, nên nếu tính ra giá trị âm, thì tức là ta đã bị sai dấu ở đâu đó, cần kiểm tra lại.
d. [tex]I=\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\sqrt{tan^2x-2+cot^2x}dx[/tex]
Ta có: [tex]tan^2x-2+cot^2x=tan^2x-2tanxcotx+cot^2x=(tanx-cotx)^2[/tex]
=>[tex]I=\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\sqrt{(tanx-cotx)^2}dx=\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}|tanx-cotx|dx[/tex]
=[tex]\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}|\frac{sinx}{cosx}-\frac{cosx}{sinx}|dx=\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}|\frac{sin^2x-cos^2x}{sinxcosx}|dx=2\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}|\frac{cos2x}{sin2x}|dx[/tex]
[tex]x\epsilon (\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{3})=>2x\epsilon (\frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3})[/tex]
=>[tex]I=2\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}|\frac{cos2x}{sin2x}|dx+2\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}|\frac{cos2x}{sin2x}|dx=2\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{cos2x}{sin2x}dx-2\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{cos2x}{sin2x}dx[/tex]
=[tex]lnsin2x|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}-lnsin2x_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}[/tex]