Toán 12 Tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp tạo bình phương

Thảo luận trong 'Nguyên hàm và tích phân' bắt đầu bởi Tiến Phùng, 15 Tháng hai 2020.

Lượt xem: 148

  1. Tiến Phùng

    Tiến Phùng Cựu Cố vấn Toán Thành viên

    Bài viết:
    3,746
    Điểm thành tích:
    561
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    * Lý thuyết:
    + Với hàm f(x) bất kì liên tục trên [a;b] ( [a;b] là đoạn mà ta sẽ lấy tích phân ), ta có [tex]f^2(x)\geq 0[/tex], với mọi x thuộc [a;b] nên [tex]\int_{a}^{b}f^2(x)dx\geq 0[/tex]. Dấu "=" khi và chỉ khi f(x)=0.

    + Vận dụng: từ lý thuyết trên, ta cố gắng biến đổi giả thiết đề cho, về dạng: [tex]\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))^2dx=0[/tex] , với [TEX]g(x)[/TEX] là một hàm tường minh. Từ đó ta suy ra f(x) = g(x). Ta sẽ có f(x) tường minh để tính nguyên hàm.

    * Bài tập :
    1.
    Cho hàm f(x) liên tục, có đạo hàm trên [3;6], thỏa mãn: [tex]\int_{3}^{6}f^2(x)dx=63,\int_{3}^{6}xf(x)dx=63[/tex] . Tính [tex]I=\int_{3}^{6}f(x)dx[/tex]

    Giải: ta kì vọng biến đổi về dạng: [tex]\int_{3}^{6}(f(x)-g(x))^2dx=0<=>\int_{3}^{6}f^2(x)dx-\int_{3}^{6}2f(x)g(x)dx+\int_{3}^{6}g^2(x)dx=0[/tex]

    Ở đề ta đã có [TEX]\int_{3}^{6}xf(x)dx=63<=>\int_{3}^{6}2xf(x)dx=126[/TEX]., như vậy ta dự đoán [TEX]g(x)=x[/TEX], vậy ta có : [tex]\int_{3}^{6}g^2(x)dx=[/tex] [tex]\int_{3}^{6}x^2dx[/tex]

    + Tính được : [tex]\int_{3}^{6}x^2dx=63[/tex]
    =>[tex]\int_{3}^{6}f^2(x)-2\int_{3}^{6}xf(x)dx+\int_{3}^{6}x^2dx=63-126+63=0[/tex]
    <=>[tex]\int_{3}^{6}(f(x)-x)^2dx=0<=>f(x)=x[/tex]

    Vậy [tex]I=\int_{3}^{6}f(x)dx=\int_{3}^{6}xdx=27/2[/tex]

    2. Cho hàm f(x) liên tục, có đạo hàm trên [3,4] thỏa mãn [tex]\int_{3}^{4}f^2(x)dx=\frac{7029}{5}[/tex],
    [tex]\int_{3}^{4}f(x)x^2dx=\frac{2343}{5}[/tex]. Tính [tex]I=\int_{3}^{4}f(x)dx[/tex] .

    Giải: tương tự với suy nghĩ ở bài 1, ta đoán là [TEX]f(x)=x^2[/TEX], do đó ta tính:
    [tex]\int_{3}^{4}g^2(x)dx=\int_{3}^{4}x^4dx=\frac{781}{5}[/tex]

    Tuy nhiên khi cộng vào thì lại không hợp bằng 0:
    [tex]\int_{3}^{4}f^2(x)dx-2\int_{3}^{4}f(x)x^2dx+\int_{3}^{4}x^4dx=\frac{7029}{5}-2.\frac{2343}{5}+\frac{781}{5}\neq 0[/tex]

    Vậy ta cần phải nghĩ lại, [TEX]f(x)=ax^2[/TEX], với hệ số a tùy ý và cần tìm ra nó, chứ không nhất thiết a=1.

    + Tìm a: [tex]\int_{3}^{4}(f(x)-ax^2)^2dx=0<=>\int_{3}^{4}f^2(x)dx-2a\int_{3}^{4}f(x)x^2dx+\int_{3}^{4}a^2x^4dx=0[/tex]

    <=>[tex]\frac{7029}{5}-2a.\frac{2343}{5}+a^2.\frac{781}{5}=0<=>a^2-6a+9=0<=>a=3[/tex]

    => [TEX]f(x)=3x^2[/TEX].

    + Chú ý: nếu trong 1 bài toán tự luận, ta không viết bước tìm a, mà tìm ra nháp. Còn khi viết vào thì chỉ viết thẳng: [tex]\int_{3}^{4}(f^2(x)-6f(x)x^2+9x^2)dx=0<=>f(x)=3x^2[/tex]

    Vậy [tex]I=\int_{3}^{4}3x^2dx=37[/tex]

    3. Cho hàm f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn: [tex]\int_{0}^{1}[f'(x)]^2dx=\frac{4}{3}[/tex] , [tex]\int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}[/tex] , f(1)=1. Tính [tex]I=\int_{0}^{1}f^3(x)dx[/tex]

    Giải: ở bài này ta có biểu thức bình phương là : [tex][f'(x)]^2[/tex] , nhưng lại không có [tex]\int_{0}^{1}f'(x).g(x)dx[/tex] trong dữ kiện, do đó ta nghĩ đến sử dụng tích phân từng phần để làm xuất hiện [TEX]f'(x)[/TEX]

    + Đặt u=f(x)=>u'=f'(x)
    v'=1 chọn v = x
    =>[tex]\int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}<=>xf(x)|^1_0-\int_{0}^{1}xf'(x)=\frac{1}{3}<=>\int_{0}^{1}xf'(x)=\frac{2}{3}[/tex]

    ( Ở trên đã dùng đến dữ kiện f(1)=1 thay vào để tính)

    Vậy đến đây sử dụng phương pháp tìm a như bài 2, ta có a=2: [tex]\int_{0}^{1}[f'(x)]^2-4\int_{0}^{1}xf'(x)dx+\int_{0}^{1}4x^2dx=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0[/tex]

    <=>[TEX]f'(x)=2x<=>f(x)=x^2+C[/TEX]
    Do f(1)=1 nên C=0 => [TEX]f(x)=x^2[/TEX]

    Vậy [tex]I=\int_{0}^{1}x^6dx=\frac{1}{7}[/tex]
     
    Nguyễn Hương Trà thích bài này.
  2. Lê Thị Hàn

    Lê Thị Hàn Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    105
    Điểm thành tích:
    36
    Nơi ở:
    Thái Nguyên
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Chuyên Thái Nguyên

    em hỏi một chút ạ, ở ví dụ số 3, để tìm a, mình đặt g(x) = a.x nhưng
    ở ví dụ số 3 cái dữ liệu ở phần biến đối là f'(x) khác vs các vd trc là f(x)
    cái chỗ =2/3 ý ạ
    nên vì nó là f'(x) thì g(x) vẫn là x trong đó ạ??
     
    Last edited: 19 Tháng hai 2020
    Tiến Phùng thích bài này.
  3. Lê Thị Hàn

    Lê Thị Hàn Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    105
    Điểm thành tích:
    36
    Nơi ở:
    Thái Nguyên
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Chuyên Thái Nguyên

    à em hiểu r ạ, ở bài này cái ^2 là f'(x)
    ok dcd r, k có gì đâu ạ

    hôm nay đọc lại thấy hiểu thật sự :vv
     
    Tiến Phùng thích bài này.
  4. Nguyễn Hương Trà

    Nguyễn Hương Trà Học sinh tiêu biểu Thành viên

    Bài viết:
    3,514
    Điểm thành tích:
    596
    Nơi ở:
    Du học sinh
    Trường học/Cơ quan:
    ♡♡♡♡❤️♡♡♡♡

    Anh ơi cho em hỏi nếu như phương trình ẩn a cho 2 nghiệm thì chọn a như thế nào đc ạ?
     
    Tiến Phùng thích bài này.
  5. Tiến Phùng

    Tiến Phùng Cựu Cố vấn Toán Thành viên

    Bài viết:
    3,746
    Điểm thành tích:
    561
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

    Ý em là bài em đăng hôm qua à? Cái bài đó đúng ra f'(x)=[TEX]x^2[/TEX] nhưng mà thế thì vô lý. Vậy chắc là hàm f'(x) không bằng [TEX]ax^2[/TEX], mà nó kiểu khác
     
    Nguyễn Hương Trà thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->