Toán 12 Tính tích phân có [tex][f'(x)]^2[/tex]

[huenhuluu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f(1)=0, [tex]\int_{0}^{1}[f'(x)]^2dx= \frac{3}{2}-2*ln2[/tex] và [tex]\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{(x+1)^2}dx=2*ln2-\frac{3}{2}[/tex]. Tính tích phân [tex]\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex].

Đáp án:
A.[tex]\frac{1-2ln2}{2}[/tex]
B.[tex]\frac{3-2ln2}{2}[/tex]
C.[tex]\frac{3-4ln2}{2}[/tex]
D.[tex]\frac{1-ln2}{2}[/tex]

Mình giải đến đây thì bí rồi, đoạn sau cái u, dv thì chắc hướng giải không còn đúng nữa đâu nên chắc là không cần xem đoạn đó đâu ạ. Giúp mình giải tiếp với ạ. Mình cảm ơn

 

[Cá Rán Tập Bơi]

Bạn lưu ý điều này: [tex]dv=u(x)dx\Rightarrow v=U(x)+C[/tex] khi tích phân từng phần
Hãy chọn C sao cho khử được hàm tại điểm ko cho giá trị
Ví dụ bài trên, người ta ko cho [tex]f(0)[/tex], vậy hãy tìm cách chọn C sao cho biểu thức chứa [tex]f(0)[/tex] tại [tex]x=0[/tex] bị khử.
Ta có thể chọn: [tex]dv=\frac{dx}{(x+1)^2}\Rightarrow v=\frac{-1}{x+1}+1=\frac{x}{x+1}[/tex]
Chọn thế này thì ko còn [tex]f(0)[/tex] xuất hiện ở đoạn sau nữa

 

[huenhuluu]

Bạn lưu ý điều này: [tex]dv=u(x)dx\Rightarrow v=U(x)+C[/tex] khi tích phân từng phần
Hãy chọn C sao cho khử được hàm tại điểm ko cho giá trị
Ví dụ bài trên, người ta ko cho [tex]f(0)[/tex], vậy hãy tìm cách chọn C sao cho biểu thức chứa [tex]f(0)[/tex] tại [tex]x=0[/tex] bị khử.
Ta có thể chọn: [tex]dv=\frac{dx}{(x+1)^2}\Rightarrow v=\frac{-1}{x+1}+1=\frac{x}{x+1}[/tex]
Chọn thế này thì ko còn [tex]f(0)[/tex] xuất hiện ở đoạn sau nữa

Bạn ơi mình làm tiếp thì nó lại bị kẹt đoạn này. Phiền bạn cho mình hỏi là tới đây thì giải quyết thế nào nữa? Cảm ơn bạn nhiều nha, bạn trả lời dễ hiểu lắm luôn.

 

[zzh0td0gzz]

Bạn ơi mình làm tiếp thì nó lại bị kẹt đoạn này. Phiền bạn cho mình hỏi là tới đây thì giải quyết thế nào nữa? Cảm ơn bạn nhiều nha, bạn trả lời dễ hiểu lắm luôn.

View attachment 116768

tích phân = 0 => biểu thức trong dấu tích phân =0 => f'(x) =[TEX]\frac{x}{x+1}[/TEX]

 

[huenhuluu]

tích phân = 0 => biểu thức trong dấu tích phân =0 => f'(x) =[TEX]\frac{x}{x+1}[/TEX]

Nhưng dòng cuối là hiệu tích phân mà bạn? Đâu phải tổng tích phân đâu?
Ây khoan bạn vừa sửa cái gì để mình tiếp thu lại cái nha lmao :vv

tích phân = 0 => biểu thức trong dấu tích phân =0 => f'(x) =[TEX]\frac{x}{x+1}[/TEX]

Rồi mình tiếp thu xong ý bạn nói rồi :v. Vì sao tích phân bằng 0 thì biểu thức trong dấu tích phân lại bằng 0 vậy bạn? Chừng nào g(x)>0 thì khi [tex]\int g(x)dx[/tex]=0 thì g(x) mới=0 được chứ bạn? Bài này chưa biết biểu thức trong dấu tích phân >0 hay <0 trên [0;1] mà?

 

[zzh0td0gzz]

Nhưng dòng cuối là hiệu tích phân mà bạn? Đâu phải tổng tích phân đâu?

Nhưng dòng cuối là hiệu tích phân mà bạn? Đâu phải tổng tích phân đâu?
Ây khoan bạn vừa sửa cái gì để mình tiếp thu lại cái nha lmao :vv

[tex]\int_{0}^{1}(f'(x)-\frac{x}{2(x+1)})^2dx-\int_{0}^{1}\frac{x^2}{4(x+1)^2}=0\Leftrightarrow \int_{0}^{1}(f'(x)-\frac{x}{2(x+1)})^2-\frac{x^2}{4(x+1)^2}dx=0\Rightarrow (f'(x)-\frac{x}{2(x+1)^2})-\frac{x^2}{4(x+1)^2}=0[/tex]

Rồi mình tiếp thu xong ý bạn nói rồi :v. Vì sao tích phân bằng 0 thì biểu thức trong dấu tích phân lại bằng 0 vậy bạn? Chừng nào g(x)>0 thì khi [tex]\int g(x)dx[/tex]=0 thì g(x) mới=0 được chứ bạn? Bài này chưa biết biểu thức trong dấu tích phân >0 hay <0 trên [0;1] mà?

để mình snghi nhưng cái trên thấy ra đáp án

 

[huenhuluu]

[tex]\int_{0}^{1}(f'(x)-\frac{x}{2(x+1)})^2dx-\int_{0}^{1}\frac{x^2}{4(x+1)^2}=0\Leftrightarrow \int_{0}^{1}(f'(x)-\frac{x}{2(x+1)})^2-\frac{x^2}{4(x+1)^2}dx=0\Rightarrow (f'(x)-\frac{x}{2(x+1)^2})-\frac{x^2}{4(x+1)^2}=0[/tex]

để mình snghi nhưng cái trên thấy ra đáp án

Cách của bạn ra đúng đáp án A rồi. Nhưng ý mình là vầy nè:



Sao cái hình nó nằm ngang vậy ta bạn chịu khó nhìn xíu nha để mình sửa lại :vv

 

[Cá Rán Tập Bơi]

Bạn bị vướng mắc đoạn kia à? Nếu thêm bớt không ra kết quả, ta hãy xử lý nó 1 các "thô bạo" bằng việc ép cho tích phân phải bằng 0. Đặt [tex]a=\frac{3}{2}-2ln2[/tex] để viết đỡ dài
Ta phân tích đoạn dưới này ra nháp:
Xét tích phân: [tex]I=\int_{0}^{1}\left ( f'(x)+k.\frac{x}{x+1} \right )^2dx=\int_{0}^{1}[f'(x)]^2dx+2k\int_{0}^{1}\frac{x}{x+1}f'(x)dx+k^2\int_{0}^{1}\frac{x^2}{(x+1)^2}dx[/tex]
[tex]I=a+2k.a+I_1[/tex] [tex]=a+2ka+k^2.a=a(k+1)^2=0\Rightarrow k=-1[/tex]
Vậy thì ta cần làm vào bài viết như sau:
Xét tích phân: [tex]I=\int_{0}^{1}\left ( f'(x)-\frac{x}{x+1} \right )^2dx=...=0\Rightarrow f'(x)=\frac{x}{x+1}[/tex]
Đến đây là xong bài toán

 

[zzh0td0gzz]

Rồi mình tiếp thu xong ý bạn nói rồi :v. Vì sao tích phân bằng 0 thì biểu thức trong dấu tích phân lại bằng 0 vậy bạn? Chừng nào g(x)>0 thì khi [tex]\int g(x)dx[/tex]=0 thì g(x) mới=0 được chứ bạn? Bài này chưa biết biểu thức trong dấu tích phân >0 hay <0 trên [0;1] mà?