- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng biến đổi thông thường ( đổi biến, phân tích ):
Tính các nguyên hàm:
a. [tex]I=\int \frac{dx}{\sqrt{e^{3x}+2}}[/tex]
Giải: Lưu ý hàm [TEX]e^x[/TEX] là 1 hàm rất dễ làm, vì đạo hàm hay nguyên hàm đều vẫn là chính nó. Dễ thứ hai là hàm [TEX]a^x[/TEX], vì đạo hàm hay nguyên hàm cũng chỉ thêm hằng số trước nó. Do vậy, với các bài dạng đa thức của [TEX]e^x[/TEX], ta chỉ cần đổi biến [TEX]e^x=t[/TEX] là có thể làm được.
Đặt [TEX]\sqrt{e^{3x}+2}=t[/TEX]=>[TEX]t^2=e^{3x}+2[/TEX]
=>[TEX]2tdt=3e^{3x}dx[/TEX]
Vậy [tex]I=\int \frac{e^{3x}dx}{e^{3x}\sqrt{e^{3x}+2}}=\int \frac{2tdt}{3(t^2-2)t}=\int \frac{2dt}{3(t^2-2)}[/tex]
=[tex]\frac{2}{3}\int \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{1}{t-\sqrt{2}}-\frac{1}{t+\sqrt{2}})dt=\frac{1}{3\sqrt{2}}ln|\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}|+C[/tex]
Trả biến, ta được : [tex]I=\frac{1}{3\sqrt{2}}ln|\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}|+C=\frac{1}{3\sqrt{2}}ln|\frac{\sqrt{e^{3x}+2}-\sqrt{2}}{\sqrt{e^{3x}+2}+\sqrt{2}}|+C[/tex]
b. [tex]I=\int e^{x}\sqrt{e^{2x}-2e^{x}+6}dx[/tex]
Giải: Ta có thể đặt [TEX]e^x=t[/TEX] cũng sẽ giải được, nhưng có thể đặt triệt để hơn như sau:
[tex]I=\int e^x\sqrt{(e^x-1)^2+5}dx=\int \sqrt{(e^x-1)^2+5}d(e^x+1)[/tex]
Đến đây ta áp dụng nguyên hàm : [tex]\int \sqrt{x^2+a}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C[/tex] (đã được chứng minh cụ thể ở bài viết này )
Thu được kết quả: [tex]I=\frac{e^x+1}{2}\sqrt{(e^x+1)^2+4}+2ln|(e^x+1)+\sqrt{(e^x+1)^2+4}|+C[/tex]
Dạng 2: Sử dụng nguyên hàm từng phần.
Đặc trưng của bài toán phải dùng đến nguyên hàm từng phần, đó là có hàm mũ, loga, kết hợp với đa thức của x, hoặc hàm lượng giác. Khi dùng từng phần, ta đặt u=logarit. Trong trường hợp là hàm mũ, thì đặt v'= hàm mũ, bởi hàm mũ có thể lấy trực tiếp nguyên hàm được.
Tính các nguyên hàm:
a. [tex]I=\int xln(x^2+1)dx[/tex]
Giải: Đặt : [tex]\left\{\begin{matrix} u=ln(x^2+1)=>u'=\frac{2x}{x^2+1}\\ v'=x=>v=\frac{x^2+1}{2} \end{matrix} \right.[/tex]
Ở đây chọn [TEX]v=\frac{x^2+1}{2}[/TEX] mà không chọn kết quả [TEX]v=\frac{x^2}{2}[/TEX], bởi vì chọn như trường hợp đầu tiên, thì sẽ triệt tiêu được với mẫu số của biểu thức [TEX]u'[/TEX]
=>[tex]I=ln(x^2+1)\frac{x^2+1}{2}-\int xdx=ln(x^2+1)\frac{x^2+1}{2}-\frac{x^2}{2}+C[/tex]
b. [tex]I=\int e^xsinxdx[/tex]
Dạng lượng giác nhân kết hợp với hàm mũ này, là 1 dạng mà không thể tính được trực tiếp. Chỉ có thể tính gián tiếp qua nguyên hàm từng phần.
Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} u=sinx=>u'=cosx\\ v'=e^x=>v=e^x \end{matrix}\right.[/tex]
=>I=[tex]e^xsinx-\int e^xcosxdx[/tex]
* Tính [TEX]\int e^xcosxdx[/TEX]
Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} u=cos=>u'=-sinx\\ v'=e^x=>v=e^x \end{matrix}\right.[/tex]
=>[tex]\int e^xcosxdx=e^xcosx+\int e^xsinxdx=e^xcosx+I[/tex]
Do đó:
[tex]I=e^xsinx-e^xcosx-I<=>I=\frac{e^x(sinx-cosx)}{2}+C[/tex]
Tính các nguyên hàm:
a. [tex]I=\int \frac{dx}{\sqrt{e^{3x}+2}}[/tex]
Giải: Lưu ý hàm [TEX]e^x[/TEX] là 1 hàm rất dễ làm, vì đạo hàm hay nguyên hàm đều vẫn là chính nó. Dễ thứ hai là hàm [TEX]a^x[/TEX], vì đạo hàm hay nguyên hàm cũng chỉ thêm hằng số trước nó. Do vậy, với các bài dạng đa thức của [TEX]e^x[/TEX], ta chỉ cần đổi biến [TEX]e^x=t[/TEX] là có thể làm được.
Đặt [TEX]\sqrt{e^{3x}+2}=t[/TEX]=>[TEX]t^2=e^{3x}+2[/TEX]
=>[TEX]2tdt=3e^{3x}dx[/TEX]
Vậy [tex]I=\int \frac{e^{3x}dx}{e^{3x}\sqrt{e^{3x}+2}}=\int \frac{2tdt}{3(t^2-2)t}=\int \frac{2dt}{3(t^2-2)}[/tex]
=[tex]\frac{2}{3}\int \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{1}{t-\sqrt{2}}-\frac{1}{t+\sqrt{2}})dt=\frac{1}{3\sqrt{2}}ln|\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}|+C[/tex]
Trả biến, ta được : [tex]I=\frac{1}{3\sqrt{2}}ln|\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}|+C=\frac{1}{3\sqrt{2}}ln|\frac{\sqrt{e^{3x}+2}-\sqrt{2}}{\sqrt{e^{3x}+2}+\sqrt{2}}|+C[/tex]
b. [tex]I=\int e^{x}\sqrt{e^{2x}-2e^{x}+6}dx[/tex]
Giải: Ta có thể đặt [TEX]e^x=t[/TEX] cũng sẽ giải được, nhưng có thể đặt triệt để hơn như sau:
[tex]I=\int e^x\sqrt{(e^x-1)^2+5}dx=\int \sqrt{(e^x-1)^2+5}d(e^x+1)[/tex]
Đến đây ta áp dụng nguyên hàm : [tex]\int \sqrt{x^2+a}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C[/tex] (đã được chứng minh cụ thể ở bài viết này )
Thu được kết quả: [tex]I=\frac{e^x+1}{2}\sqrt{(e^x+1)^2+4}+2ln|(e^x+1)+\sqrt{(e^x+1)^2+4}|+C[/tex]
Dạng 2: Sử dụng nguyên hàm từng phần.
Đặc trưng của bài toán phải dùng đến nguyên hàm từng phần, đó là có hàm mũ, loga, kết hợp với đa thức của x, hoặc hàm lượng giác. Khi dùng từng phần, ta đặt u=logarit. Trong trường hợp là hàm mũ, thì đặt v'= hàm mũ, bởi hàm mũ có thể lấy trực tiếp nguyên hàm được.
Tính các nguyên hàm:
a. [tex]I=\int xln(x^2+1)dx[/tex]
Giải: Đặt : [tex]\left\{\begin{matrix} u=ln(x^2+1)=>u'=\frac{2x}{x^2+1}\\ v'=x=>v=\frac{x^2+1}{2} \end{matrix} \right.[/tex]
Ở đây chọn [TEX]v=\frac{x^2+1}{2}[/TEX] mà không chọn kết quả [TEX]v=\frac{x^2}{2}[/TEX], bởi vì chọn như trường hợp đầu tiên, thì sẽ triệt tiêu được với mẫu số của biểu thức [TEX]u'[/TEX]
=>[tex]I=ln(x^2+1)\frac{x^2+1}{2}-\int xdx=ln(x^2+1)\frac{x^2+1}{2}-\frac{x^2}{2}+C[/tex]
b. [tex]I=\int e^xsinxdx[/tex]
Dạng lượng giác nhân kết hợp với hàm mũ này, là 1 dạng mà không thể tính được trực tiếp. Chỉ có thể tính gián tiếp qua nguyên hàm từng phần.
Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} u=sinx=>u'=cosx\\ v'=e^x=>v=e^x \end{matrix}\right.[/tex]
=>I=[tex]e^xsinx-\int e^xcosxdx[/tex]
* Tính [TEX]\int e^xcosxdx[/TEX]
Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} u=cos=>u'=-sinx\\ v'=e^x=>v=e^x \end{matrix}\right.[/tex]
=>[tex]\int e^xcosxdx=e^xcosx+\int e^xsinxdx=e^xcosx+I[/tex]
Do đó:
[tex]I=e^xsinx-e^xcosx-I<=>I=\frac{e^x(sinx-cosx)}{2}+C[/tex]
