- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Một số nguyên hàm cần nhớ để vận dụng nhanh:
1.a [tex]\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a}}=ln|x+\sqrt{x^2-a}|+C[/tex]
b. [tex]\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C[/tex]
Chứng minh: ở dưới đây chứng minh với ý 1.b, ý 1.a thì chứng minh tương tự.
Đặt [TEX]t=x+\sqrt{x^2+a}[/TEX] => [tex]dt=(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+a}})dx<=>dt=\frac{x+\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{x^2+a}}dx[/tex]
<=>[tex]dt=\frac{tdx}{\sqrt{x^2+a}}<=>\frac{dt}{t}=\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}[/tex]
Thu được nguyên hàm: [tex]\int \frac{dt}{t}=ln|t|+C=ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C[/tex]
2. a. [tex]\int \sqrt{x^2+a}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C[/tex]
b. [tex]\int \sqrt{x^2-a}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a}-\frac{a}{2}ln|x+\sqrt{x^2-a}|+C[/tex]
Chứng minh: dưới đây chứng minh 2.a, 2.b chứng minh tương tự.
[TEX]I=\int \sqrt{x^2+a}dx[/TEX]
Để tính nguyên hàm này, ta phải dựa vào kết quả nguyên hàm từ ý 1, thực hiện nguyên hàm từng phần:
Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} u=\sqrt{x^2+a}=>u'=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}\\ v'=1=>v=x \end{matrix}\right.[/tex]
Thu được nguyên hàm: [tex]I=x\sqrt{x^2+a}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}}dx=x\sqrt{x^2+a}-\int (\sqrt{x^2+a}-\frac{a}{\sqrt{x^2+a}})dx[/tex]
=[tex]x\sqrt{x^2+a}-I+\int \frac{a}{\sqrt{x^2+a}}dx=x\sqrt{x^2+a}-I+aln|x+\sqrt{x^2+a}|+C[/tex]
<=>[tex]2I=x\sqrt{x^2+a}+aln|x+\sqrt{x^2+a}|+C<=>I=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C[/tex]
*Vận dụng:
1. Tính nguyên hàm: [tex]I=\int \frac{6x+1}{\sqrt{3x^2+x}}dx[/tex]
Giải: Ở bài này thì đơn giản tử số là đạo hàm của biểu thức trong căn ở mẫu, do đó ta đổi biến:
[tex]I=\int \frac{6x+1}{\sqrt{3x^2+x}}dx=\int \frac{d(3x^2+x)}{\sqrt{3x^2+x}}=2\sqrt{3x^2+x}+C[/tex]
2. Tính nguyên hàm: [tex]I=\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-2x-5}}[/tex]
Giải: Ta cố gắng biến đổi về dạng giống như công thức (1) nêu ở bên trên:
[tex]I=\int \frac{dx}{\sqrt{(x-1)^2-6}}=\int \frac{d(x-1)}{\sqrt{(x-1)^2-6}}=ln|(x-1)+\sqrt{(x-1)^2-6}|+C[/tex]
3. Tính nguyên hàm: [tex]I=\int \sqrt{x^2+4x+9}dx[/tex]
Giải: Ta đưa về dạng giống như nguyên hàm ở công thức (2):
[tex]I=\int \sqrt{(x+2)^2+5}dx=\int \sqrt{(x+2)^2+5}d(x+2)=\frac{x+2}{2}\sqrt{(x+2)^2+5}+\frac{5}{2}ln|(x+2)+\sqrt{(x+2)^2+5}|+C[/tex]
1.a [tex]\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a}}=ln|x+\sqrt{x^2-a}|+C[/tex]
b. [tex]\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C[/tex]
Chứng minh: ở dưới đây chứng minh với ý 1.b, ý 1.a thì chứng minh tương tự.
Đặt [TEX]t=x+\sqrt{x^2+a}[/TEX] => [tex]dt=(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+a}})dx<=>dt=\frac{x+\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{x^2+a}}dx[/tex]
<=>[tex]dt=\frac{tdx}{\sqrt{x^2+a}}<=>\frac{dt}{t}=\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}[/tex]
Thu được nguyên hàm: [tex]\int \frac{dt}{t}=ln|t|+C=ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C[/tex]
2. a. [tex]\int \sqrt{x^2+a}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C[/tex]
b. [tex]\int \sqrt{x^2-a}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a}-\frac{a}{2}ln|x+\sqrt{x^2-a}|+C[/tex]
Chứng minh: dưới đây chứng minh 2.a, 2.b chứng minh tương tự.
[TEX]I=\int \sqrt{x^2+a}dx[/TEX]
Để tính nguyên hàm này, ta phải dựa vào kết quả nguyên hàm từ ý 1, thực hiện nguyên hàm từng phần:
Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} u=\sqrt{x^2+a}=>u'=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}\\ v'=1=>v=x \end{matrix}\right.[/tex]
Thu được nguyên hàm: [tex]I=x\sqrt{x^2+a}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}}dx=x\sqrt{x^2+a}-\int (\sqrt{x^2+a}-\frac{a}{\sqrt{x^2+a}})dx[/tex]
=[tex]x\sqrt{x^2+a}-I+\int \frac{a}{\sqrt{x^2+a}}dx=x\sqrt{x^2+a}-I+aln|x+\sqrt{x^2+a}|+C[/tex]
<=>[tex]2I=x\sqrt{x^2+a}+aln|x+\sqrt{x^2+a}|+C<=>I=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C[/tex]
*Vận dụng:
1. Tính nguyên hàm: [tex]I=\int \frac{6x+1}{\sqrt{3x^2+x}}dx[/tex]
Giải: Ở bài này thì đơn giản tử số là đạo hàm của biểu thức trong căn ở mẫu, do đó ta đổi biến:
[tex]I=\int \frac{6x+1}{\sqrt{3x^2+x}}dx=\int \frac{d(3x^2+x)}{\sqrt{3x^2+x}}=2\sqrt{3x^2+x}+C[/tex]
2. Tính nguyên hàm: [tex]I=\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-2x-5}}[/tex]
Giải: Ta cố gắng biến đổi về dạng giống như công thức (1) nêu ở bên trên:
[tex]I=\int \frac{dx}{\sqrt{(x-1)^2-6}}=\int \frac{d(x-1)}{\sqrt{(x-1)^2-6}}=ln|(x-1)+\sqrt{(x-1)^2-6}|+C[/tex]
3. Tính nguyên hàm: [tex]I=\int \sqrt{x^2+4x+9}dx[/tex]
Giải: Ta đưa về dạng giống như nguyên hàm ở công thức (2):
[tex]I=\int \sqrt{(x+2)^2+5}dx=\int \sqrt{(x+2)^2+5}d(x+2)=\frac{x+2}{2}\sqrt{(x+2)^2+5}+\frac{5}{2}ln|(x+2)+\sqrt{(x+2)^2+5}|+C[/tex]
