Cho a, b, c dương thỏa mãn [math]\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}=6[/math]Tìm GTNN của [math]P=\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}[/math]Em xin cảm ơn!
AlexisBorjanovVì [imath](a-b)^2 \geq 0 \Rightarrow a^2 + b^2 \geq 2ab \Rightarrow 4a^2 + 4ab + 4b^2 \geq 3a^2 + 6ab + 3b^2 =3(a+b)^2[/imath]
[imath]\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2+ab} \geq \dfrac{\sqrt{3}(a+b)}{2}[/imath]
Tương tự, rồi cộng vào ra được [imath]P\geq \sqrt{3} (a+b+c)[/imath]
Áp dụng bất đẳng thức A-G ta có:
[imath](a+1 )+ 4 \geq 4 \sqrt{a+1}\Rightarrow a \geq 4\sqrt{a+1} -5[/imath]
Tương tự suy ra [imath]a+b+c \geq 4 (\sqrt{a+1} +\sqrt{b+1} + \sqrt{c+1}) - 15 = 9[/imath]
Suy ra [imath]P \geq 9\sqrt{3}[/imath]
Dấu = xảy ra khi [imath]a=b=c=3[/imath]
Ngoài ra bạn tham khảo thêm chủ đề này tại: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
