Toán 9 Tính giá trị nhỏ nhất đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CKHD

[Galaxy_Shadow]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O; căn 5), đường kính AB. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tiếp tuyến tại A,B của nửa đường tròn (O) tại C,D. Gọi K là giao điểm của OC và AM, H là giao điểm của OD và BM. Tính giá trị nhỏ nhất đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CKHD

 

[Blue Plus]

(Trước hết chỉ ra tứ giác $CKHD$ nội tiếp)
Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $CKHD$.
Gọi $J$ là giao điểm của $OM$ và $HK$. $N$ là trung điểm $CD$.
Ta chứng minh $IJON$ là hình bình hành (dễ thấy $IJ\parallel ON$ và $IN\parallel OJ$)
$\Rightarrow IN=OJ=\dfrac12 OM=\dfrac{\sqrt5}2$
$ID^2=IN^2+ND^2=\dfrac{5}4+\dfrac{CD^2}4\Rightarrow 4ID^2=5+CD^2\Rightarrow 2ID=\sqrt{5+CD^2}$
Đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $CKHD$ chính là $2ID$
$2ID$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $CD$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có $CD\ge AB=2\sqrt5$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Suy ra $2ID\ge \sqrt{5+(2\sqrt5)^2}=5$.
Dấu "=" xảy ra khi $CD=AB\Leftrightarrow M$ là điểm chính giữa cung $AB$.
Nếu có thắc mắc bạn hãy hỏi tại đây nhé ^^ Tụi mình sẽ hỗ trợ