Tính giá trị biểu thức

[thanhhien_pretty]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn: a+b+c=2
Chứng minh [TEX]a^2+b^2+c^2+2abc<2[/TEX]
2. Với x,y là các số dương thỏa mãn [TEX]xy+\sqrt[2]{(1+x^2)(1+y^2)}=\sqrt[2]{2000}[/TEX]
Tính giá trị của biểu thức S= [TEX]x\sqrt[2]{1+y^2}+y\sqrt[2]{1+x^2}[/TEX]
3. Cho a,b,c >0 . CMR
a )[TEX]\frac{2a}{a^6+b^4}+\frac{2b}{b^6+c^4}+\frac{2c}{c^6+a^4}[/TEX] \leq [TEX]\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}[/TEX]
b) ab=1 . Tìm GTNN của
M=[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a+b}[/TEX]

 

[quanghao98]

theo bất đẩng thức tam giác có:
$a<b+c$ \Rightarrow $2a<a+b+c=2$\Rightarrow $a<1$
tương tự có $b,c<1$
BDT cần chứng minh được viết lại như sau:
$ab+bc+ac+abc-1$ \geq0
\Leftrightarrow $ab+bc+ac+abc+1-a-b-c$\geq0\Leftrightarrow$(1-a)(1-b)(1-c)$\geq0
điều này đúng vì a,b,c < 1

 

[quanghao98]

$xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=\sqrt{2000}$
\Rightarrow $(xy)^2+(1+x^2)(1+y^2)+2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=2000$
có $S^2=x^2(1+y^2)+y^2(1+x^2)+2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=1999$
\Rightarrow $S=\sqrt{1999}$

 

[quanghao98]

từ giả thiết $ab=1$
\Rightarrow $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=a+b$
mặt khác,$a+b$ \geq $2\sqrt{ab}=2$
\Rightarrow M=$a+b$+$\frac{1}{a+b}$=$\frac{1}{a+b}$+$\frac{a+b}{4}$+$\frac{3(a+b)}{4}$ \geq1+$\frac{6}{4}$
\Rightarrow M \geq $\frac{5}{2}$
đẳng thức xảy ra khi $a=b=1$

 

[vansang02121998]

Câu 3:

$\dfrac{2a}{a^6+b^4}+\dfrac{2b}{b^6+c^4}+\dfrac{2c}{c^6+a^4} \le \dfrac{1}{a^2b^2}+\dfrac{1}{b^2c^2}+\dfrac{1}{a^2c^2} \le \dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}+\dfrac{1}{c^4}$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a+b}$$=a+b+$$\dfrac{1}{a+b}$$=\dfrac{a+b}{4}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{3(a+b)}{4}$$ \ge 2\sqrt{\dfrac{a+b}{4}.\dfrac{1}{a+b}}+$$\dfrac{3.2\sqrt{ab}}{4} = \dfrac{5}{2}$