Tính đơn điệu và ứng dụng!

[tramngan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chuyên đề tính đơn điệu

A. Lý Thuyết:

Hàm số đơn điệu: Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng.
* f đồng biến trên K nếu với mọi [tex]\large x_1,x_2\in K , x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)[/tex]
* f nghịch biến trên K nếu với mọi [tex]\large x_1,x_2 \in K , x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)[/tex]

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó
* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì[tex] \large f ' (x) \geq 0[/tex] với mọi [tex]\large x\in I[/tex]
* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì [tex]\large f ' (x) \leq 0[/tex] với mọi [tex]\large x\in I[/tex]

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Định lý 1: Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange)
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm c (a,b)
sao cho f(b)-f(a)=f'(c)( b-a)

Định lý 2:
1) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
* Nếu [tex]\large f ' (x ) \geq 0; \forall x \in I [/tex] và [tex]\large f ' ( x ) = 0[/tex] chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I.
* Nếu [tex]\large f ' (x ) \leq 0 ; \forall x \in I [/tex] và [tex]\large f ' ( x ) = 0[/tex] chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I.
* Nếu [tex]\large f ' (x ) = 0 ; \forall x \in I [/tex] thì hàm số f không đổi trên I
2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng (a,b).
* Nếu [tex]\large f ' ( x ) > 0 ( hoac f ' (x ) <0 )[/tex]với mọi [tex]\large x \in (a,b)[/tex]thì hàm số f đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a,b)
* Nếu [tex]\large f ' ( x ) = 0 [/tex]với mọi [tex]\large x \in (a,b)[/tex]thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a,b)

B. Bài Tập :

Chứng minh rằng với mọi m (-1;1) phương trình [tex] \large sin^2x + cosx = m[/tex] có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn [0; ]

Bài giải:
Xét hàm số [tex] f(x)=\large sin^2x + cosx [/tex] liên tục trên đoạn [0;\pi ]
Ta có f' (x) = sinx(2cosx - 1) , x (0;\pi )
Vì sinx > 0 nên f ' (x) = 0 [tex]\large \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} \in [0; \pi][/tex]
Hàm số đồng biến trên đoạn [tex]\large [0; \frac{\pi}{3}][/tex] và nghịch biến trên đoạn [tex]\large x \in [\frac{\pi}{3}, \pi][/tex]
* Hàm số f liên tục trên đoạn [tex]\large x \in [0; \frac{\pi}{3}][/tex], ta có [tex] \large 1 \leq f(x) \leq \frac{5}{4}[/tex], nên phương trình cho không có nghiệm m (-1;1)
* Hàm số f liên tục trên đoạn[tex]\large x \in [\frac{\pi}{3}, \pi][/tex], ta có [tex] \large -1 \leq f(x) \leq \frac{5}{4}[/tex]. Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục ( lớp 11) , với mọi [tex]\large m \in (-1,1) \subset ( - 1; \frac{5}{4})[/tex], tồn tại một số thực [tex]\large c \in ( \frac{\pi}{3};\pi) sao cho f(c) = 0[/tex] , với c là nghiệm phương trình , đồng thời hàm số f nghịch biến trên đoạn [tex]\large x \in [\frac{\pi}{3}, \pi][/tex] phương trình có nghiệm duy nhất
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc [tex]\large [0; \pi][/tex]

Nguồn: www.toanthpt.net

 

[tramngan]

Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R [tex] \large y = \frac{1}{3}(m^2+2m)x^3 + mx^2 + 2x + 1 [/tex]

Bài giải:
[tex]\large y' = (m^2+2m)x^2 + 2mx + 2[/tex]
Để hàm số đồng biến trên R thì [tex]\large y' \geq 0 ; \forall x[/tex]
* [tex]\large m^2 + 2m = 0 \Leftrightarrow \left\[\begin{m = - 2}\\{m = 0} [/tex]
!/ m = -2 thì [tex]\large y' = -4x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq -2[/tex] không thỏa
!!/ m = 0 thì [tex]\large y ' = 2 \geq 0[/tex] đúng x R. Vậy m = 0 thỏa
* [tex]\large m^2 + 2m \neq 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{m \neq - 2}\\{m \neq 0} [/tex], khi đó để [tex]\large y ' \ge 0 \forall x \in R[/tex] thì [tex]\large \left\{\begin {m^2 + 2m >0}\\ {\Delta_{y'} \leq 0} [/tex] [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin {\left\[\begin {m > 0}\\{ m < -2 }}\\{\left\[\begin { m \leq - 4}\\{m \geq 0}[/tex] [tex] \Leftrightarrow \left\[\begin { m > 0}\\{m\leq - 4}[/tex]

Vậy [tex] \large \left\[\begin { m \geq 0}\\{m \leq - 4}[/tex] hàm số đổng biến trên R

Nguồn: www.toanthpt.net

 

[tramngan]

Bài tập 3: Cho hàm số : [tex]\large y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(m - 1)x^2 - ( m - 1)x - 3 [/tex]. Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5
Bài giải :
* Tập xác định : D = R
*[tex] \large y ' = x^2 - (m - 1)x - ( m - 1)[/tex]
* [tex] \large \Delta = m^2 + 2m + 5 > 0 \forall m[/tex], khi đó phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt[tex] \large x_1; x_2 ( x_1 < x_2)[/tex]
Để hàm số luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 thì [tex]\large y' \leq 0 ; \forall x sao cho x_1 < x< x_2 [/tex] thỏa mãn
[tex]\large |x_2 - x_1| = 5 \Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1.x_2 = 5\Leftrightarrow m^2 + 2m + 5 = 5 \Leftrightarrow \left\[\begin{m = 0}\\{ m = -2} [/tex]

Bài tập tự luyện:
1/Chứng minh rằng phương trình [tex]\large 2x^2\sqrt{x - 2} = 11[/tex] có 1 nghiệm duy nhất.
2/Cho hàm số [tex]\large y = \frac{1}{3}(m - 1)x^3 + (m + 2)x^2 + (3m - 1)x - 2 [/tex] có đồ thị là ( Cm); m là tham số.
a. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4.
c. Tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.

www.toanthpt.net

 

[tramngan]

Bài tập 4:Với giá trị nào của m thì hàm số y = ( 2m + 3)sinx+ ( 2 - m) x luôn luôn đồng biến?

Bài giải:
* Tập xác định D = R
* y' = ( 2m + 3)cosx+ ( 2 - m) =( 2m + 3)t+ ( 2 - m) = f(t) ; với t = cosx , [tex]\large t \in [-1;1][/tex]
* Để hàm số đồng biến trên D khi [tex]\large \ y' \geq 0 , \forall x \in R \Leftrightarrow f(t) \geq 0 ; t \in [-1;1]\Leftrightarrow \left\{\begin{f(-1) \geq 0}\\{f(1) \geq 0 [/tex] [tex]\Leftrightarrow - 5 \leq m \leq -\frac{1}{3}[/tex]


Bài tập 5:Cho hàm số [tex]\large y = \frac{1}{3}mx^3 + 2(m - 1)x^2 + (m - 1)x + m[/tex]. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng [tex]\large (2, + \infty)[/tex]

Bài giải:
[tex]\large y' = mx^2 +4(m-1)x + m - 1[/tex]. Để hàm số đồng biến trong khoảng [tex]\large (2, + \infty) \Leftrightarrow y' \geq 0 ; \forall x \in (2, + \infty) ( *) [/tex]

PP1:
tex]\large (*) \Leftrightarrow mx^2 +4(m-1)x + m - 1 \geq 0 ;\forall x \in (2, + \infty) \Leftrightarrow m \geq \frac{4x + 1}{x^2 + 4x + 1} ; \forall x \in (2, + \infty)[/tex]; xét [tex]\large f(x) = \frac{4x + 1}{x^2 + 4x + 1} ; \forall x \in (2, + \infty)\Rightarrow f'(x) < 0 ; \forall x \in (2, + \infty)[/tex], do đó [tex]\large m \ge {max}\limit_{x\in(2,+ \infty)} {f(x)} = f(2) \Leftrightarrow m \ge \frac {9}{13} [/tex]

PP2:

* m = 0 khi đó [tex]\large y' = 4x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{4} \subset ( 2,+ \infty) [/tex] . Thế m = 0 có nhận không nhỉ ???
* [tex]\large m \neq 0[/tex]
[tex]\large \Delta' = (m - 1)(3m-4)[/tex]
!/ Hàm số đồng biến trên D khi [tex]\large y' \ge 0 ; \forall x \in D \Leftrightarrow \left\{\begin{m > 0}\\{\Delta' \le 0} \Leftrightarrow 1 \le m \le \frac{4}{3}[/tex] . Do đó với [tex]\large 1 \le m \le \frac{4}{3}[/tex] thì hàm số cũng đồng biến trong khoảng [tex] \large x \in (2, + \infty)[/tex]

!!/ Giả sử [tex]\large \Delta' = (m - 1)(3m-4) > 0[/tex] thì pt y'=0 có hai nghiệm phân biệt[tex] \large x_1, x_2 ; ( x_1< x_2 )[/tex]
Hàm số đồng biến trong khoảng [tex] \large x \in (2, + \infty)[/tex] khi ta có hệ [tex]\large \left\{\begin{m > 0}\\{x_1<x_2\le 2 } [/tex] [tex] \large \Leftrightarrow \left\{\begin{m > 0} \\{ \Delta' > 0}\\{my'(2) \ge 0}\\ {\frac{S}{2} - 2 < 0 [/tex] [tex] \large \Rightarrow m= ?? [/tex] Kết hợp các trường hợp được giá trị m cần tìm



Bài tập tự luyện:
1/Định m để hàm số y = msinx + (2m -3)x + 2 luôn luôn nghịch biến ?.
2/Định m để hàm số y = -(2m+1)cosx + (3m + 2)x luôn luôn đồng biến ?.
3/ Định m để hàm số [tex]\large y = \frac{1 - m}{3} x^3 - 2(2 - m )x^2 + 2(2 - m)x + 5[/tex] luôn luôn giảm
4/ Cho hàm số [tex]\large y = 4x^3 + (m + 3)x^2 +ax [/tex]. Tìm m để [tex]\large |y|\le 1 khi |x|\le 1[/tex]
5/ Định m để hàm số [tex]\large y = \frac{1}{3}mx^3 - (m - 1)x^2 + 3(m - 2) + \frac{1}{3}[/tex] đồng biến trong khoảng [tex]\large (2, + \infty)[/tex]
6/ Định m để hàm số [tex]\large y = \frac{-2x^2 - 3x + m}{2x + 1}[/tex] nghịch biến trong khoảng [tex]\large (-\frac{1}{2}, + \infty)[/tex]

www.toanthpt.net

 

[tramngan]

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT-BPT-HPT:

Định lí 1:Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D thì số nghiệm của pt trên D : f(x)=k không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x)=k có nghiệm x=a, tức là f(a)=k. Do f đồng biến nên
*x>a suy ra f(x)>f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm
[*x<a suy ra f(x)<f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm
Vậy pt f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm.

Chú ý:* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong đó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến)
Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm.

Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn đb)và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử x=a là một nghiệm của pt: f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến.
*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x>a.
*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x<a.
Vậy pt f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm.

Chú ý: Khi gặp pt F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f và g khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Định lí 3:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt [tex]f^(k)=0[/tex] có m nghiệm, khi đó pt [tex]f^{(k+1)}=0[/tex] có nhiều nhất là m+1 nghiệm.
Định lí này là hệ quả của Định lí Roll.

Định lí 4: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)và liên tục trên D thì
[tex]\large\ f(x)>f(y) \Leftrightarrow x>y (x<y)[/tex].

www.toanthpt.net

 

[tramngan]

Các ví dụ:
Ví dụ 1:Giải các phương trình sau:
[tex]\large\ 1) sqrt{3x+1}+sqrt{x+\sqrt{7x+2}}=4[/tex].
[tex]\large\ 2) sqrt{5x^3-1}+\sqrt[3]{2x-1}+x=4[/tex].
[tex]\large\ 3) \sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{2x^2+1}+\sqrt[3]{2x^2}[/tex].
[tex]\large\ 4) log_3(\frac{x^2+x+3}{2x^+4x+5})=x^2+3x+2[/tex].
Giải:
1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng biến và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x=1 là nghiệm duy nhất. Vậy ta có cách giải như sau.
ĐK: [tex]\large\ D={x|x \geq \frac{7-\sqrt{57}}{2}}[/tex]
Xét hàm số [tex]\large\ f(x)= sqrt{3x+1}+sqrt{x+\sqrt{7x+2}}=4[/tex], ta có f(x) là hàm liên tục trên D và [tex]\large\ f ' (x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}+\frac{1+\frac{7}{2\sqrt{7x+2}}}{2\sqrt{x+\sqrt{7x+2}}}>0[/tex] nên hàm số f(x) luôn đồng biến.
Mặt khác, ta thấy f(1)=4
*Nếu x>1 suy ra f(x)>f(1)=4 nên pt vô nghiệm
*Nếu x<1 suy ra f(x)<f(1)=4 nên pt vô nghiệm
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Chú ý:* vì các hàm số y=ax+b với a>0 là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng biến thì hàm [tex]\large\ \sqrt[n]{f(x)} [/tex] ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận ra VT của pt là hàm đồng biến.
* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương.

2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của pt là một hàm đồng biến và pt có nghiệm x=1. Do đó pt này có nghiệm duy nhất x=1 ( Các giải tương tự như bài 1)
3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x^2+1=(2x^2)+1, do vậy nếu đặt [tex]\large\ u=\sqrt[3]{x+1}, v=\sqrt[3]{2x^2}[/tex] thì phương trình đã cho trở thành:
[tex]\large\ \sqrt[3]{u^3+1}+u=\sqrt[3]{v^3+1}+ v \Leftrightarrow f(u)=f(v)[/tex], trong đó [tex]\large\ f(t)=\sqrt[3]{t^3+1}+t[/tex] là một hàm liên tục và có [tex]\large f ' (t)=\frac{t^2}{\sqrt[3]{(t^3+1)^2}}+1>0[/tex] nên f(t) luôn đồng biến. Do đó
[tex]\large\ f(u)=f(v) \Leftrightarrow u=v \Leftrightarrow 2x^2=x+1 \Leftrightarrow x=1, x=-1/2[/tex]
Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2.
4) Quan sát các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy: [tex]\large\ (2x^2+4x+5)-(x^2+x+3)=x^2+3x+2[/tex], do vậy nếu đặt [tex]\large\ u=x^2+x+3, v=2x^2+4x+5 \Rightarrow v-u=x^2+3x+2; u,v>0[/tex] , khi đó phương trình trở thành:
[tex]\large\ log_3(\frac{u}{v})=v-u \Leftrightarrow log_3u+u=log_3v+v \Leftrightarrow f(u)=f(v)[/tex], trong đó [tex]\large\ f(t)=log_3t+t[/tex] với t>0 . Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy [tex]\large\ f(u)=f(v) \Leftrightarrow u=v \Leftrightarrow v-u=0 \Leftrightarrow x^2+3x+2=0 \Leftrightarrow x=-1, x=-2[/tex].

www.toanthpt.net

 

[tramngan]

Có nhiều phương trình để giải nó ta dự đoán được một số nghiệm và sau đó ta chứng minh ( dựa vào định lí 3) số nghiệm của phương trình không vượt quá số nghiệm ta vừa dự đoán. Ta xét ví dụ sau
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
[tex]\large\ 1) 2003^x+2005^x=4006x+2 [/tex].
[tex]\large\ 2) 3^x=1+x+log_3(1+2x) [/tex].

Giải: 1) Ta thấy pt có hai nghiệm x=0 và x=1. Ta chứng minh phương trình đã cho có không quá hai nghiệm. Để có điều này ta cần chứng minh hàm số [tex]\large\ g(x)=2003^x+2005^x-4006x-2 [/tex] có g " (x)>0 (vì khi đó theo đ/l 3 suy ra g’(x) có nhiều nhất một nghiệm dẫn đến g(x) có nhiều nhất hai nghiệm), điều này luôn đúng vì [tex]\large\ g" (x)=2003^xln^22003+2005^xln^22005>0[/tex]Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1.
2) Đk: x>-1/2.
[tex]\large\ pt \Leftrightarrow 3^x+x=(1+2x)+log_3(1+2x) \Leftrightarrow 3^x+log_33^x=(1+2x)+log_3(1+2x) \Leftrightarrow f(3^x)=f(1+2x)[/tex], trong đó [tex]\large\ f(t)=t+log_3t [/tex] là hàm liên tục và đồng biến. Do đó [tex]\large\ f(3^x)=f(1+2x) \Leftrightarrow 3^x=1+2x \Leftrightarrow 3^x-2x-1=0 [/tex]Xét hàm số [tex]\large\ g(x)=3^x-2x-1[/tex] , ta có: [tex]\large\ g' (x)=3^xln3-2 \Rightarrow g"(x)=3^xln^23>0[/tex], suy ra pt g’(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn đến pt g(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy x=0 và x=1 là hai nghiệm của pt g(x)=0nên phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1.

www.toanthpt.net

 

[tramngan]

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất
[tex]\large\ x^5-x^2-2x-1=0[/tex].
Giải:
Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau
* Chứng minh phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này, ta cần chứng chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a,b sao cho f(a).f(b)<0
* Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Trở lại bài toán:
Xét hàm số [tex]\large\ f(x)=x^5-x^2-2x-1=0[/tex].Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2)<0, dẫn đến pt f(x)=0 luôn có nghiệm
Giả sử [tex]\large\ x_0[/tex] là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi đó [tex]\large\ x_0^5=x_0^2+2x_0+1=(x_0+1)^2[/tex]. Từ đây ta suy ra được [tex]\large\ x_0 \geq 0 \Rightarrow x_0^5=(x_0+1)^2 \geq 1[/tex]. Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x>=1
Ta có [tex]\large\ f'(x)=5x^4-2x-2=2x(x^3-1)+2(x^2-1)+x^4>0[/tex] nên f(x) là hàm đồng biến.
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
Chú ý:* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là hàm đồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ vào bản thân của phương trình.
*Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác đó là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một điểm.

Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng toán về phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ đó hi vong các em có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng được những dạng phương trình nào có thể dùng đồng biến, nghịch biến . Bây giờ ta đi xét một số bài toán về Bất Phương trình.
Ví dụ3 : Giải các bất phương trình sau:
[tex]\large\ 1) 3 \sqrt{3-2x}+\frac{5}{\sqrt{2x-1}}-2x \leq 6 [/tex].
[tex]\large\ 2) \sqrt{x^3+3x^2+6x+16}<2 sqrt3+\sqrt{4-x}[/tex].
Giải:
1) ĐK: [tex]\large\ \frac{1}{2}<x \leq \frac{3}{2}[/tex].
Xét hàm số [tex]\large\ f(x)=3 \sqrt{3-2x}+\frac{5}{\sqrt{2x-1}}-2x[/tex]
Ta dễ dàng chứng minh được f(x) là hàm nghịch biến và f(1)=6.
Do đó [tex]\large\ f(x) \leq 6=f(1) \Leftrightarrow x \geq 1[/tex]
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của Bpt là: [tex]\large\ 1 \leq x \leq \frac{3}{2}[/tex].
2) ĐK: [tex]\large\ -2 \leq x \leq 4[/tex].
Xét hàm số [tex]\large\ f(x)= \sqrt{x^3+3x^2+6x+16}- \sqrt{4-x}[/tex], ta có
[tex]\large\ f'(x)=\frac{3(x^2+x+1)}{\sqrt{x^3+3x^2+6x+16}}+ \frac{1}{2 \sqrt{4-x}} >0[/tex] suy ra f(x) là hàm đồng biến
Mặt khác: [tex]\large\ f(1)=2 \sqrt3 [/tex]
Do vậy Bpt [tex]\large\ f(x)<2 \sqrt3=f(1) \Leftrightarrow x<1[/tex]
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là [tex]\large\ -2 \leq x <1[/tex]

www.toanthpt.net

 

[tramngan]

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: [tex]\large\ \left{\begin x^3+3y=y^3+3x (1) \\ x^2+3y^2=1 (2)[/tex]

Giải:
Hệ đã cho không phải là hệ đối xứng , đẳng cấp... nên nguyên tắc chung để giải hệ là ta biểu diễn ẩn này qua ẩn kia rôi chuyển hệ về phương trình một ẩn
Ta thấy phương trình (1) của hệ là phương trình đối xứng, tức là ta luôn phân tích được thừa số (x-y). Điều này dẫn đến ta biến đổi (1) như sau:
[tex]\large\ (1) \Leftrightarrow x^3-y^3-3(x-y)=0 \Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-2=0[/tex].
Từ đây ta có: x=y * hoặc [tex]\large\ x^2+xy+y^2-3=0 [/tex](**)
Thay * vào (2) ta có được x,y. Tuy nhiên ta phải giải quyết (**) thế nào đây? Giá như ở (2) hệ số của x^2 và y^2 bằng nhau thì hay biết mấy!. Đến đây chúng ta gắp khó khăn rồi!
Ta thử xem lại một chút nhé. (1) là biểu thức đối xứng tuy nhiên nếu tinh ý một chút chúng ta sẽ nhận thấy [tex]\large\ (1) \Leftrightarrow x^3-3x=y^3-3y \Leftrightarrow f(x)=f(y) ![/tex] với [tex]\large\ f(t)=t^3-3t[/tex], ta hy vọng rằng f(t) sẽ là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến?!, nhưng thật đáng tiếc f(t) không thể luôn đơn điệu vì [tex]\large\ f'(t)=3(t^2-1)[/tex] không thể luôn dương hay âm với mọi t. Phải chi |x|, |y| cùng nhỏ hơn 1 hoặc lớn hơn 1 thì hay biết mấy! Bình tĩnh nhé từ (2) ta dễ dàng suy ra được [tex]\large\ x^2, y^2 \leq 1[/tex] điều này dẫn đến f’(t)<0 hay f(t) là hàm nghịch biến. Vậy f(x)=f(y) dẫn đến x=y.
Vậy ta có lời giải như sau
Từ (2) ta suy ra được |x|,|y|<=1.
[tex]\large\ (1) \Leftrightarrow x^3-3x=y^3-3y \Leftrightarrow f(x)=f(y)[/tex], trong đó
[tex]\large\ f(t)=t^3-3t[/tex] với |t|<=1, ta có f(t) là hàm nghịch biến và liên tục trên [-1;1]
nên [tex]\large\ f(x)=f(y) \Leftrightarrow x=y[/tex]. Thay x=y vào (2) ta có được
[tex]\large\ x=y= \pm \frac{1}{2}[/tex] là ngiệm của hệ đã cho.
Ví dụ 6: Giải hệ pt: [tex]\large\ \left{\begin{\array} sinx-siny=3x-3y (1) \\ x+y=\frac{\pi}{5} (2) \\ x,y>0 (3)[/tex].

Giải: Từ pt(1) gợi cho ta sử dụng phương pháp hàm số
Từ (2) và (3) ta có : [tex]\large\ 0<x,y< \frac{\pi}{5}[/tex]
[tex]\large\ (1) \Leftrightarrow sinx-3x=siny-3y \Leftrightarrow x=y [/tex] (vì hàm số f(t)=sint-3t là hàm liên tục và nghịch biến trên [tex]\large\ (0; \frac{\pi}{5})[/tex].)
Thay x=y vào (2) ta được nghiệm của hệ là: [tex]\large\ x=y= \frac{\pi}{10}[/tex].
Chú ý:*Qua hai ví dụ trên ta thấy cả hai cùng chung một phương pháp, là một phương trình của hệ có dạng f(x)=f(y), dẫn đến ta khảo sát tính đơn điệu của hàm số f(t)
* Một chú ý khi sử dụng tính đơn điệu là chúng ta chỉ có được
[tex]\large\ f(x)=f(y) \Leftrightarrow x=y [/tex] khi f(t) liên tục vàđơn điệu

www.toanthpt.net

 

[tramngan]

Ví dụ 7:Giải hệ phương trình:[tex]\large \left {\begin {(1+4^{2x-y})5^{1-2x+y}=1+2^{2x-y+1} (1)} \\ {y^3+4x+1+ln(y^2+2x)=0 (2)}[/tex].

Giải:Đặt t=2x-y. Khi đó (1) trở thành:
[tex]\large\ 5[(\frac{1}{5})^t+(\frac{4}{5})^t]=1+2.2^t[/tex] (a)
Ta thấy vế trái (a) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm đồng biến và t=1 là một nghiệm của (a). Do vậy (a) có nghiệm duy nhất t=1
t=1 hay 2x=y+1, thay vào (2) ta được: [tex]\large\ y^3+2y+3+ln(y^2+y+1)=0 \Leftrightarrow y=-1 [/tex] (Vì hàm [tex]\large\ f(y)= y^3+2y+3+ln(y^2+y+1)[/tex] là hàm liên tục và đồng biến, đồng thời f(-1)=0).
Vậy nghiệm của hệ là (x;y)=(0;-1).
Ví dụ 8: Giải hệ: [tex]\large \left{\begin{\array} x^3+3x-3+ln(x^2-x+1)=y \\ y^3+3y-3+ln(y^2-y+1)=z \\ z^3+3z-3+ln(z^2-z+1)=x [/tex].
.
Giải:Xét hàm số [tex]\large\ f(t)=t^3+3t-3+ln(t^2-t+1)[/tex]
Khi đó hệ có dạng :[tex]\large\ \left{\begin{\array} f(x)=y \\ f(y)=z \\ f(z)=x [/tex] .
ta có: [tex]\large\ f'(t)=3t^2+3+ \frac{2t-1}{2 (\sqrt{t^2-t+1})} >0[/tex] nên f(t) là hàm đồng biến
Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ và x=Max{x,y,z} khi đó, ta suy ra
[tex]\large\ y=f(x) \geq f(y)=z \Rightarrow z=f(y) \geq f(z)=x[/tex]
Vậy [tex]\large\ x \geq y \geq z \geq x \geq \Rightarrow x=y=z[/tex], thay vào hệ ta được phương trình:
[tex]\large\ x^3+2x-3+ln(x^2-x+1)=0[/tex]. Ta dễ dàng chứng minh được phương trình này có nghiệm duy nhất x=1
Vậy x=y=1 là nghiệm của hệ đã cho.

www.toanthpt.net

 

[tramngan]

Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
[tex]\large\ 1) 2 \sqrt{3x+1}-\frac{3}{\sqrt{2-x}}=3-2x[/tex]

đã làm

[tex]\large\ 2) \sqrt{x^2-2x+2}-\sqrt{4x^2+1}=1+x[/tex]

đã làm

[tex]\large\ 3) \sqrt{x^2+15}+2=3x+\sqrt{x^2+8}[/tex]

đã làm

[tex]\large\ 4) (x-1)(x+2)=(x^2-2)e^x+xe^{x^2-2}[/tex]

đã làm

[tex]\large\ 5) log_2(\sqrt{x^2-5x+5}+1)log_3(log_3(x^2-5x+7)=2[/tex]

đã làm

[tex]\large\ 7) 3^{cosx}.2^{cosx}=cosx [/tex]

đã làm

[tex]\large\ 8) (1+x)(2+4^x)=3.4^x[/tex]

đã làm

[tex]\large\ 9) \sqrt{2^{1-3sinx}}+1+3sinx=log_2(1-9sinx) [/tex]
[tex]\large\ 10) log_3(3^{2|sinx|}+4^{|cosx|}-4)=3^{(3^{2|sinx|}+4^{|cosx|}-4)}-1 [/tex]
Bài 2: Giải các bất phương trình sau
[tex]\large\ 1) sqrt x+\sqrt{x+7}+2 \sqrt{x^2+7x}<35-2x [/tex]
[tex]\large\ 2) \sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}<6 [/tex]

đã làm

[tex]\large\ 3) 2^{x-1}-2^{x^2-x} \geq (x-1)^2 [/tex]
[tex]\large\ 4) (x-2)[log_2(x-3)+log_3(x-2)] \geq x+1[/tex]
Bài 3:Giải các hệ phương trình sau
[tex]\large\ 1) \left{\begin 2^x-y=2^y-x \\ x^2+4y^2=25 [/tex].

đã làm

[tex]\large\ 2) \left{\begin sin2x-2y=sin2y-2x \\ 2x+3y= \pi \\ x,y>0 [/tex].

đã làm

[tex]\large\ 3) \left{\begin tanx-tany=y-x \\ \sqrt{y+1}-1= \sqrt{x-\sqrt{y+8}}[/tex].

đã làm

[tex]\large\ 4) \left{\begin e^{x-y}=\frac{sinx}{siny} \\ 10 \sqrt{x^6+1}=3(y^4+2) \\ \pi < x,y< \frac{5\pi}{4} [/tex].

đã làm

[tex]\large\ 5) \left{\begin log_2(\sqrt{1+3sinx})=log_3(3cosy) \\ log_2(\sqrt{1+3cosy})=log_3(3sinx) [/tex].
[tex]\large\ 6) \left{\begin log_2(1+3cosx)=log_3(siny)+2 \\ log_2(1+3siny)=log_3(cosx)+2 [/tex].
[tex]\large\ 7) \left{\begin 2(x^3+2x-y-1)=x^2(y+1) \\ y^3+4x1+ln(y^2+2x)=0[/tex].
[tex]\large\ 8) \left {\begin x^y=y^x \\ \sqrt{1-x^2}+ \sqrt{2-y^2}=1 [/tex].
[tex]\large\ 9) \left {\begin x^3+3x^2+2x-5=y \\ y^3+3y^2+2y-5=z \\ z^3+3z^2+2z-5=x [/tex].

đã làm

[tex]\large\ 10) \left {\begin \sqrt{x^2-2x+6}.log_3(6-y)=x \\ \sqrt{y^2-2y+6}.log_3(6-z)=y \\ \sqrt{z^2-2z+6}.log_3(6-x)=z [/tex].

đã làm

Bài 4:Giải và biện luận phương trình
[tex]\large\ 5^{x^2+2mx+2}-5^{2x^2+4mx+m+2}=x^2+2mx+m[/tex]

đã làm tại topic khác

 

[rua_it]

[TEX]\left{\begin sin2x-2y=sin2y-2x\\2x+3y=\pi\\x,y>0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin2x+2x = sin2y +2y \\ 2x+3y=\pi \\x,y>0 [/TEX]

Từ PT đầu tiên ta có vì [tex]f(t)=sin2t+2t[/tex] là hàm đơn điệu nên [TEX]x=y[/TEX]

thế vào PT thứ 2 ta có [TEX]2x+3x=\pi \Rightarrow x=\frac{\pi}{5}[/TEX]

thoã mãn [TEX]x,y > 0[/TEX]

 

[rua_it]

[tex]6.9^{2x^2 -x} -13.6^{2x^2 -x} + 6.4^{2x^2 -x} \leq 0[/tex]

M ình không biêt viêt công thưc toán mong các bạn thong cảm !!!

Xét [tex]9^{2x^2-x}=0[/tex]

Chia 2 vế cho [tex]9^{2x^2-x} \not = 0[/tex], ta được: [tex]6-13.(\frac{2}{3})^{2x^2-x}+6.(\frac{2}{3})^{2.(2x^2-x)}\leq 0[/tex]

Đặt [tex] t=(\frac{2}{3})^{2x^2-x} \Rightarrow 6-13t+6t^2=0[/tex]

[tex]\left[\begin{t=\frac{2}{3}}\\{t=\frac{3}{2}} [/tex]

[tex]\left[\begin{2x^2-x=1}\\{2x^2-x=-1} \\ x=1 \\ x=-\frac{1}{2} [/tex]

 

[cuncon185]

để Hàm số đồng biến trong khoang(2; dương vô cùng) thj`laf y'>=0 với X thuộc khoảng (2;dương vô cùng)--------> ta xét X1< X2<=2(là vẫn lấy X=2)
Còn nếu người ta bắt là HS đồng biến trên đoạn [2; dương cô cùng ) thì cũng xét X1<X2<= 2 à!(thầy giáo e bảo thế)
__________thế là đúng hay sai?__________
Mà nếu đúng thì người ta xét đoạn với khoảng như thế là kết quả sẽ giống nhau à???????????

 

[giangln.thanglong11a6]

Khá đầy đủ và chi tiết. Đây là 1 topic bổ ích cho tất cả mọi người.

Bài 1.1: Đưa PT về[TEX] 2\sqrt{3x+1}+2x=\frac{3}{\sqrt{2-x}}+3[/TEX]

VT đồng biến, VP nghịch biến nên PT có nghiệm duy nhất x=1.

Bài 2.9: Giả sử [TEX](x_0,y_0,z_0)[/TEX] là 1 nghiệm của hệ.

[TEX]\Rightarrow \left{x_0^3+3x_0^2+2x_0-5=y_0\\y_0^3+3y_0^2+2y_0-5=z_0\\z_0^3+3z_0^2+2z_0-5=x_0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{(x_0-1)(x_0^2+4x_0+6)=y_0-1\\(y_0-1)(y_0^2+4y_0+6)=z_0-1\\(z_0-1)(z_0^2+4z_0+6)=x_0-1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \left{\mid(x_0-1)(x_0^2+4x_0+6)\mid=\mid y_0-1\mid\\ \mid (y_0-1)(y_0^2+4y_0+6) \mid=\mid z_0-1 \mid \\ \mid (z_0-1)(z_0^2+4z_0+6)\mid=\mid x_0-1 \mid[/TEX]

Do [TEX]t^2+4t+6>1 \forall t[/TEX] nên từ hệ trên suy ra [TEX]\mid y_0-1\mid \geq \mid x_0-1 \mid \geq \mid z_0-1 \mid \geq \mid y_0-1\mid[/TEX].

[TEX]\Rightarrow x_0=y_0=z_0=1[/TEX].

 

[yenngocthu]

Bài tập:

[tex]\large\ 10) \left {\begin \sqrt{x^2-2x+6}.log_3(6-y)=x \\ \sqrt{y^2-2y+6}.log_3(6-z)=y \\ \sqrt{z^2-2z+6}.log_3(6-x)=z [/tex].

[TEX]\Leftrightarrow \left{log_3(6-y)=\frac{x}{\sqrt{x^2-2x+6}}\\{log_3(6-z)=\frac{y}{\sqrt{y^2-2.y+6}}\\{log_3(6-x)=\frac{z}{\sqrt{z^2-2.z+6}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{f(y)=g(x)\\f(z)=g(y)\\f(y)=g(z)[/TEX]
xét hàm số [TEX]g(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2-2.t+6}[/TEX]và [TEX]f(t)=log_3(6-t)[/TEX]với [TEX]t<6[/TEX]
đến đây chắc dơn giản ròi,tháy hàm g(t) đòng biến,f(t)NB ---> hệ có 1 nghiệm duy nhất [TEX]x=y=z=3 [/TEX]

 

[potter.2008]

Làm tạm bài

Bài 3:Giải hệ phương trình sau :
[tex]\large\ 1) \left{\begin 2^x-y=2^y-x \\ x^2+4y^2=25 [/tex].

[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin 2^x +x = 2^y +y \\ x^2+4y^2=25 [/TEX]

ta thấy VT và VP của PT thứ nhất đều có dạng [TEX]f(t) =2^t +t [/TEX] vì đây là hàm đơn

điệu nên ta có [TEX]x=y [/TEX] từ đây thế vào PT thứ 2 ta được

[tex]x^2 + 4x^x = 25 \Leftrightarrow 5x^2 = 25 \Leftrightarrow x^2 = 5 [/tex] đến đây tự giải típ nha

 

[potter.2008]

Bài 1: Giải phương trình sau:
[tex]\large\ 3) \sqrt{x^2+15}+2=3x+\sqrt{x^2+8}[/tex]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x^2+15} - \sqrt{x^2+8} = 3x - 2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{7}{\sqrt{x^2+15} + \sqrt{x^2+8}} = 3x -2 [/TEX]

Ta thấy VT là hàm nghịch biến , VP là hàm đồng biến nên Pt có 1 nghiệm duy nhất là x=1

7 .

[tex]6^{cosx} = cosx [/tex]

VT là hàm đồng biến , VP xét trên đường tròn lượng giác ( hai khoảng ) để rút ra PT có 1

nghiệm duy nhất [TEX]cosx=0[/TEX]

 

[potter.2008]

[TEX]\left{\begin sin2x-2y=sin2y-2x\\2x+3y=\pi\\x,y>0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin2x+2x = sin2y +2y \\ 2x+3y=\pi \\x,y>0 [/TEX]

Từ PT đầu tiên ta có vì [tex]f(t)=sin2t+2t[/tex] là hàm đơn điệu nên [TEX]x=y[/TEX]

thế vào PT thứ 2 ta có [TEX]2x+3x=\pi \Rightarrow x=\frac{\pi}{5}[/TEX]

thoã mãn [TEX]x,y > 0[/TEX]

 

[quang1234554321]

[TEX]\Leftrightarrow \left{log_3(6-y)=\frac{x}{\sqrt{x^2-2x+6}}\\{log_3(6-z)=\frac{y}{\sqrt{y^2-2.y+6}}\\{log_3(6-x)=\frac{z}{\sqrt{z^2-2.z+6}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{f(y)=g(x)\\f(z)=g(y)\\f(y)=g(z)[/TEX]
xét hàm số [TEX]g(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2-2.t+6}[/TEX]và [TEX]f(t)=log_3(6-t)[/TEX]với [TEX]t<6[/TEX]
đến đây chắc dơn giản ròi,tháy hàm g(t) đòng biến,f(t)NB ---> hệ có 1 nghiệm duy nhất [TEX]x=y=z=3 [/TEX]

Đây là bài thứ nhất trong đề thi học sinh giỏi quốc gia THPT năm 2005-2006 bảng A

yenngocthu làm như thế chưa ra đâu nhé . Còn 1 đoạn quan trọng nhất nữa để CM : [TEX]x=y=z [/TEX]

Không mất tính tổng quát

Giả sử:[TEX] x=max({x;y;z})[/TEX] . Ta xét 2 trường hợp :

trường hợp [TEX] x \geq y\geq z [/TEX] và trường hợp [TEX]x \geq z \geq y [/TEX]

Từ đó mới suy ra được [TEX]x=y=z[/TEX] dựa vào tính đồng biến của hàm f(x) và nghịch biến của hàm g(x)