Toán 12 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp

[minhloveftu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình chóp [imath]S . A B C D[/imath] có đáy [imath]A B C D[/imath] là hình vuông cạnh [imath]a[/imath], hai mặt phằng [imath](S A B)[/imath] và [imath](S A D)[/imath] cùng vuông góc với mă̌t đáy, góc giữa mặt phẳng [imath](S B D)[/imath] và mặt phẳng đáy bằng [imath]45^{\circ}[/imath]. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp [imath]S . A B C D[/imath] bằng
A. [imath]5 \pi a^{2}[/imath]
B. [imath]\dfrac{5 \pi a^{2}}{2}[/imath]
C. [imath]4 \pi a^{2}[/imath]
D. [imath]\dfrac{5 \pi a^{2}}{8}[/imath]
Giúp em với ạ @Timeless time

 

[Timeless time]

Cho hình chóp [imath]S . A B C D[/imath] có đáy [imath]A B C D[/imath] là hình vuông cạnh [imath]a[/imath], hai mặt phằng [imath](S A B)[/imath] và [imath](S A D)[/imath] cùng vuông góc với mă̌t đáy, góc giữa mặt phẳng [imath](S B D)[/imath] và mặt phẳng đáy bằng [imath]45^{\circ}[/imath]. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp [imath]S . A B C D[/imath] bằng
A. [imath]5 \pi a^{2}[/imath]
B. [imath]\dfrac{5 \pi a^{2}}{2}[/imath]
C. [imath]4 \pi a^{2}[/imath]
D. [imath]\dfrac{5 \pi a^{2}}{8}[/imath]
Giúp em với ạ @Timeless time

landghost
Ta có hai mặt phẳng [imath](SAB)[/imath] và [imath](SAD)[/imath] cùng vuông góc với đáy mà [imath](SAB) \cap (SAD) = SA \implies SA \perp (ABCD)[/imath]
Gọi [imath](O)[/imath] kaf giao điểm của hai đường chéo [imath]AC[/imath] và [imath]BD[/imath]
[imath]\implies[/imath] Góc giữa hai mặt phẳng [imath](SBD)[/imath] và [imath](ABCD)[/imath] là [imath]\widehat{SOA} = 45^\circ[/imath]
[imath]\implies SA = \tan 45^\circ \cdot AO = \dfrac{a\sqrt 2}{2}[/imath]
Đến đây là đủ dữ kiện để mình tìm [imath]R_{\text{cầu}}[/imath] rồi

Ở một số bài tìm tâm mặt cầu rất phức tạp thì ta sẽ áp dụng công thức
[imath]R_{\text{cầu}} = \sqrt{R_{\text{đáy}} + \left(\dfrac{h}2 \right)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt 2}2 \right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt 2}4 \right)^2} = \dfrac{a\sqrt{10}}4[/imath]

Còn ở bài này do nó là hình vuông lại có cạnh bên vuông góc với đáy nên tâm tìm dễ hơn nhiều, nó chính là trung điểm cạnh [imath]SC[/imath]
[imath]\implies R_{\text{cầu}} = \dfrac{SC}2 = \dfrac{a\sqrt{10}}4[/imath]

Có [imath]R_{\text{cầu}}[/imath] rồi ta dễ dàng tính được [imath]S_{\text{cầu}}[/imath]
[imath]\implies S_{\text{cầu}} = 4\pi R^2 = 4 \pi \left( \dfrac{a\sqrt{10}}4 \right)^2 = \dfrac{5}2 a^2 \pi[/imath]

Có gì không hiểu em hỏi lại nha

___________
Xem thêm: Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022