Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số y = căn bậc hai(x + căn bậc hai(1 +x^2))
$y = \sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}$
$1) y' = \dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}} \cdot \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}} \cdot \left(1 + \dfrac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x\right) = \dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}} \cdot \dfrac{x + \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{1}{2y} \cdot \dfrac{y^2}{y^2 - x} = \dfrac{y}{2y^2 - 2x}$
$2) y' = \dfrac{y}{2y^2 - 2x}$
$\implies y'' = \left(\dfrac{y}{2y^2 - 2x}\right)' = \dfrac{y' \cdot (2y^2 - 2x) - y \cdot (2y^2 - 2x)'}{(2y^2 - 2x)^2}$
$\implies y'' = \dfrac{2y^2y' - 2xy' - y \cdot (4yy' - 2)}{(2y^2 - 2x)^2} = \dfrac{2y^2y' - 2xy' - 4y^2y' + 2y}{(2y^2 - 2x)^2} = \dfrac{-2y^2y' - 2xy' + 2y}{(2y^2 - 2x)^2}$
Thay $y' = \dfrac{y}{2y^2 - 2x}$ vào ta được:
$y'' = \dfrac{-2y^2 \cdot \dfrac{y}{2y^2 - 2x} - 2x \cdot \dfrac{y}{2y^2 - 2x} + 2y}{(2y^2 - 2x)^2} = \dfrac{\dfrac{-2y^3-2xy+2y(2y^2 - 2x)}{2y^2 - 2x}}{(2y^2 - 2x)^2} = \dfrac{-2y^3-2xy+4y^3 - 4xy}{(2y^2 - 2x)^3} = \dfrac{2y^3 - 6xy}{(2y^2 - 2x)^3}$
Thay lại $y = \sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}$ vào (với chú ý: $2y^2 - 2x = 2\sqrt{1+x^2}$) và rút gọn ta được:
$$y'' = -\dfrac{x\sqrt{x^2+1}+x^2-1}{4\sqrt{(x^2+1)^3} \cdot \sqrt{\sqrt{x^2+1}+x}}$$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
