Cho x, y nguyên sao cho [tex]x^2-2xy-y[/tex] và [tex]xy-2y^2-x[/tex] đều chia hết cho 5.
CMR: [tex]2x^2+y^2+2x+y[/tex] chia hết cho 5.
@Hoàng Vũ Nghị ,
@dangtiendung1201 ,
@Tiến Phùng ,
@who am i? ,
@Mộc Nhãn ,..
=> [tex]x^2-2xy-y+xy-2y^2-x\\ =x^2-y^2-y^2-xy-x-y\\ =(x+y).(x-2y-1)[/tex] chia hết cho 5
=> hoặc x+y chia hết cho 5 hoặc x-2y-1 chia hết cho 5
và: [tex]x^2-2xy-y-xy+2y^2+x\\ =x^2-2xy+y^2-xy+y^2+x-y\\ =(x-y).(x-2y+1)[/tex] chia hết cho 5
=> hoặc x-y chia hết cho 5 hoặc x-2y+1 chia hết cho 5
=> có 4 TH:
*TH1: x+y và x-y chia hết cho 5 => x và y cùng chia hết cho 5 => đpcm
*TH2: x+y và x-2y+1 chia hết cho 5
=> x+y-x+2y-1 chia hết cho 5
=> 3y-1 chia hết cho 5
=> 3y đồng dư 1 (mod 5)
=> y đồng dư 2 (mod 5)
mà x+y chia hết cho 5 => x đồng dư 3 (mod 5)
=> y^2 đồng dư 4 (mod 5)
=> y^2+y đồng dư 1 (mod 5)
=> +, x^2 đồng dư 4 (mod 5)
=> 2x^2 đồng dư 3 (mod 5)
=> 2x đồng dư 1 (mod 5)
=> 2x^2+2x+y^2+y đồng dư 5 (mod 5) => đpcm
*TH3: x-2y-1 và x-y chia hết cho 5
=> x-2y-1-x+y chia hết cho 5
=> -y-1 chia hết cho 5
=> y+1 chia hết cho 5
=> y đồng dư 4 (mod 5)
mà x-y chia hết cho 5
=> x đồng dư y đồng dư 4 (mod 5)
=> 2x^2+2x+y^2+y đồng dư 2y^2+2y+y^2+y (mod 5)
mà y^2 đồng dư 1 (mod 5) => 3y^2 đồng dư 3 (mod 5)
=> 3y đồng dư 2 (mod 5)
=> đpcm
*TH4: x-2y-1 và x-2y+1 chia hết cho 5
=> 2.(x-2y) chia hết cho 5 => x-2y chia hết cho 5
=> -1 chia hết cho 5 (vô lí) => ko có x;y nguyên thỏa mãn trường hợp này
vậy....
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
