Toán 8 Tìm $x,y$

[Nguyễn Chi Xuyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn [imath]x^3+2x^2+3x+2=y^3[/imath]

 

[chi254]

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn [imath]x^3+2x^2+3x+2=y^3[/imath]

Nguyễn Chi Xuyên
Xét [imath]2x^2 + 3x + 2 = 2\left (x + \dfrac{3}{4} \right)^2 + \dfrac{7}{16} > 0[/imath]
Suy ra: [imath]x^3 + 2x^2 + 3x + 2 > x^3[/imath]
Hay [imath]y^3 > x^3 \ (1)[/imath]

Lại có: [imath]x^3 + 2x^2 + 3x +2 - (x +2)^3 = -4x^2 - 9x - 6 = -4.\left(x + \dfrac{9}{8} \right )^2 - \dfrac{15}{64} < 0[/imath]
Suy ra: [imath]y^3 < (x+2)^3 \ (2)[/imath]

Từ [imath](1)[/imath] và [imath](2)[/imath] suy ra: [imath]y^3 = (x + 1)^3 \iff x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = x^3 +3x^2 + 3x + 1 \iff x^2 = 1 \iff x = \pm 1[/imath]
Khi [imath]x = 1 \to y = 2[/imath]
Khi [imath]x = -1 \to y = 0[/imath]

Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại Tổng hợp kiến thức toán lớp 8 | Tổng hợp kiến thức đại số cơ bản 8

 

[7 1 2 5]

Nhận thấy với [imath]x=0[/imath] ta thấy không thỏa mãn. Xét [imath]x \neq 0[/imath]
Vì [imath]x^2 > 0 \Rightarrow x^2 \geq 1[/imath]
[imath]\Rightarrow y^3=x^3+2x^2+3x+2 \leq x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3[/imath]
Mặt khác, [imath]2x^2+3x+2>0 \Rightarrow y^3=x^3+2x^2+3x+2 >x^3[/imath]
[imath]\Rightarrow x^3<y^3 \leq (x+1)^3[/imath]
[imath]\Rightarrow y^3=(x+1)^3 \Rightarrow x^3+2x^2+3x+2=(x+1)^3[/imath]
[imath]\Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x = \pm 1[/imath]
+ Nếu [imath]x=1 \Rightarrow y^3=8 \Rightarrow y=2[/imath]
+ Nếu [imath]x=-1 \Rightarrow y^3=0 \Rightarrow y=0[/imath]
Vậy [imath](x,y) \in \lbrace{ (1,2);(-1,0) \rbrace}[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Chuyên đề toán 8 cả năm