Toán 10 Tìm x; y

[Huyền Đoan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

x; y là số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức [tex]\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3}[/tex]. Chứng minh rằng [tex]x^{2}-y^{2}[/tex] chia hết cho 40.

 

[iceghost]

Ta CM $x^2-y^2$ chia hết cho $5$ và $8$
+) Từ gt suy ra $5(x^2-1) = 2(x^2+y^2-2)$ suy ra $x^2+y^2-2$ chia hết cho $5$ hay $x^2+y^2$ chia $5$ dư $2$
Mà $x^2$ và $y^2$ chỉ có thể chia $5$ dư $0, 1, 4$ nên $x^2$ và $y^2$ phải chia $5$ dư $1$, suy ra $x^2-y^2$ chia hết cho $5$ (1)
+) Từ gt suy ra $3(x^2-1) = 2(y^2-1)$, suy ra $x^2-1$ chia hết cho $2$ hay $(x-1)(x+1)$ chia hết cho $2$, suy ra $x$ lẻ hay $(x-1)(x+1)$ là tích hai số chẵn liên tiếp, suy ra $x^2-1$ chia hết cho $8$
Từ đó suy ra $y^2-1$ chia hết cho $4$, suy ra $y^2-1$ chia hết cho $8$, suy ra $x^2-y^2$ chia hết cho $8$ (2)
Từ (1), (2) có đpcm