Toán 9 Tìm vị trí điểm E để diện tích tam giác EPQ đạt giá trị lớn nhất

[Nguyễn Minh Sơn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình bình hành ABCD có cạnh CD=a, chiều cao ứng với cạnh CD là h, E là điểm tuỳ ý trên cạnh AB(E khác A,B). Nối EC cắt BD tại P, ED cắt AC tại Q. Tìm vị trí của E để diện tích tam giác EPQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó theo a và h.

 

[Tiểu Bạch Lang]

[tex]S_{EPQ}=\frac{1}{2}.EQ.EP\sin \widehat{PEQ};S_{ECD}=\frac{1}{2}.EC.ED\sin \widehat{PEQ}[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{S_{EPQ}}{S_{ECD}}=\dfrac{S_{EPQ}}{\frac{1}{2}ah}=\dfrac{EP.EQ}{EC.ED}[/tex]
Lại có [tex]AB//CD\Rightarrow \dfrac{EP}{CP}=\dfrac{EB}{CD}\Rightarrow \dfrac{EP}{EC}=\dfrac{EB}{a+EB}[/tex]
Tương tự [tex]\dfrac{EQ}{ED}=\dfrac{EA}{a+EA}[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{EPQ}=\frac{ahEA.EB}{2(a+EA)(a+EB)}[/tex]
Ta có [tex]\frac{(a+EA)(a+EB)}{EA.EB}=1+\frac{a^2+a(EA+EB)}{EA.EB}=1+\frac{a^2}{EA.EB}+\frac{a(EA+EB)}{EA.EB}\geq 1+\frac{4a^2}{(EA+EB)^2}+\frac{4a^2}{(EA+EB)^2}=9[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{EPQ}\leq \frac{ah}{18}[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi E là trung điểm AB
Có gì thắc mắc thi bạn hỏi lại nhé!
Tham khảo thêm kiến thức tại đây nha!