Tìm tập hợp điểm + Chứng minh

[starteen97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1:
Cho tam giác ABC có độ dài là a,b,c. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức
MB² + MC² - 2MA² = a²/2
Câu 2:
Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD²

Cảm ơn !

 

[nttthn_97]

Bài 1
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp, G là trọng tâm tam giác ABC
$MB^2+MC^2-2MA^2=\frac{a^2}{2}$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$(\vec{MO}+\vec{OB})^2+(\vec{MO}+\vec{OC})^2-2(\vec{MO}+\vec{OA})^2=\frac{a^2}{2}$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$2\vec{MO}(\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OA})=\frac{a^2}{2}$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$2\vec{MO}(3\vec{OG}-3\vec{OA})=\frac{a^2}{2}$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$2\vec{MO}.\vec{AG}=\frac{a^2}{2}$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$\vec{MO}.\vec{AG}=\frac{a^2}{4}$
Xác định $M_1$ cố định sao cho $\vec{M_1O}.\vec{AG}=\frac{a^2}{4}$
[TEX]\Rightarrow[/TEX]$\vec{MO}.\vec{AG}=\frac{a^2}{4}$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$\vec{AG}(\vec{M_1O}-\vec{MO})=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$\vec{AG}.\vec{M_1M}=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$AG \perp M_1M$
Tập hợp điểm M là đương thẳng $\Delta$ đi qua $M_1$ và $\perp AG$

 

[nttthn_97]

Bài 2
$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$(AD^2-AC^2) -(BD^2-BC^2)+AB^2+CD^2=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$(\vec{AD}-\vec{AC})(\vec{AD}+\vec{AC})- (\vec{BD}-\vec{BC})(\vec{BD}+\vec{BC}) +AB^2+CD^2=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$\vec{CD}(\vec{AD}+\vec{AC}-\vec{CD}(\vec{BD}+\vec{BC})+AB^2+CD^2=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$\vec{CD}(\vec{AD}-\vec{BD}+\vec{AC}-\vec{BC})+AB^2+CD^2=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$2\vec{CD}.\vec{AB}+AB^2+CD^2=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$(\vec{AB}+\vec{CD})^2=0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$\vec{AB}+\vec{CD}=\vec 0$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$\vec{AB}=\vec{DC}$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]ABCD là hbh