Toán 8 Tìm số thỏa mãn

[kido2006]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm các số nguyên tố a,b,c và số nguyên dươg k thỏa mãn $$a^2+b^2+16c^2=9k^2+1$$
Mọi nguòi giúp mình bài này với. Thanks. Mình đag cần gấp

 

[7 1 2 5]

Ta thấy: Số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1.
Xét các trường hợp:
+ a,b,c đều khác 3. Vì a,b,c đều là số nguyên tố nên a,b,c không chia hết cho 3 $$\Rightarrow a^2,b^2,c^2$$ chia 3 dư 1
$$\Rightarrow a^2+b^2+16c^2=9k^2+1\vdots 3$$ (vô lí)
+ a,b,c tồn tại 1 số bằng 3. Lập luận tương tự trên ta thấy $$a^2+b^2+16c^2$$ chia 3 dư 2 còn $$9k^2+1$$ chia 3 dư 1 nên vô lí.
+ $$a=b=c=3\Rightarrow 9k^2+1\vdots 3$$(vô lí)
Vậy tồn tại 2 số bằng 3. Xét các trường hợp:
+ $$a=b=3\Rightarrow 16c^2+18=9k^2+1\Rightarrow 9k^2-16c^2=17\Rightarrow (3k-4c)(3k+4c)=17$$
Ta thấy: $$0\leq 3k+4c\leq 17\Rightarrow 0\leq 4c\leq 17\Rightarrow 0\leq c\leq 4\Rightarrow c=2\Rightarrow k=3$$(t/m)
+ $$c=3$$ và trong a,b có 1 số bằng 3. Không mất tính tổng quát giả sử a = 3.
Ta có: $$153+b^2=9k^2+1\Rightarrow 9k^2-b^2=152\Rightarrow (3k-b)(3k+b)=152$$
Ta thấy 3k-b và 3k+b cùng tính chẵn lẻ. Mà $$152\vdots 4\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3k-b\vdots 2\\ 3k+b\vdots 2 \end{matrix}\right.$$
Vì $$3k-b< 3k+b\Rightarrow 3k-b\in \left \{ 2;4 \right \}$$
+ $$3k-b=2\Rightarrow 3k+b=76\Rightarrow b=37,3k=41\Rightarrow k=\frac{41}{3}(loại)$$
+ $$3k-b=4\Rightarrow 3k+b=38\Rightarrow b=17,3k=21\Rightarrow b=17,k=7(t/m)$$
Vậy (a,b,c)=(3,3,2);k=3 hoặc (a,b,c)=(3,17,3) ;(17,3,3) và k = 7