Ta thấy: Số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1.
Xét các trường hợp:
+ a,b,c đều khác 3. Vì a,b,c đều là số nguyên tố nên a,b,c không chia hết cho 3 [tex]\Rightarrow a^2,b^2,c^2[/tex] chia 3 dư 1
[tex]\Rightarrow a^2+b^2+16c^2=9k^2+1\vdots 3[/tex] (vô lí)
+ a,b,c tồn tại 1 số bằng 3. Lập luận tương tự trên ta thấy [tex]a^2+b^2+16c^2[/tex] chia 3 dư 2 còn [tex]9k^2+1[/tex] chia 3 dư 1 nên vô lí.
+ [tex]a=b=c=3\Rightarrow 9k^2+1\vdots 3[/tex](vô lí)
Vậy tồn tại 2 số bằng 3. Xét các trường hợp:
+ [tex]a=b=3\Rightarrow 16c^2+18=9k^2+1\Rightarrow 9k^2-16c^2=17\Rightarrow (3k-4c)(3k+4c)=17[/tex]
Ta thấy: [tex]0\leq 3k+4c\leq 17\Rightarrow 0\leq 4c\leq 17\Rightarrow 0\leq c\leq 4\Rightarrow c=2\Rightarrow k=3[/tex](t/m)
+ [tex]c=3[/tex] và trong a,b có 1 số bằng 3. Không mất tính tổng quát giả sử a = 3.
Ta có: [tex]153+b^2=9k^2+1\Rightarrow 9k^2-b^2=152\Rightarrow (3k-b)(3k+b)=152[/tex]
Ta thấy 3k-b và 3k+b cùng tính chẵn lẻ. Mà [tex]152\vdots 4\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3k-b\vdots 2\\ 3k+b\vdots 2 \end{matrix}\right.[/tex]
Vì [tex]3k-b< 3k+b\Rightarrow 3k-b\in \left \{ 2;4 \right \}[/tex]
+ [tex]3k-b=2\Rightarrow 3k+b=76\Rightarrow b=37,3k=41\Rightarrow k=\frac{41}{3}(loại)[/tex]
+ [tex]3k-b=4\Rightarrow 3k+b=38\Rightarrow b=17,3k=21\Rightarrow b=17,k=7(t/m)[/tex]
Vậy (a,b,c)=(3,3,2);k=3 hoặc (a,b,c)=(3,17,3) ;(17,3,3) và k = 7
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
