Toán 11 Tìm số hạng tổng quát

[minhloveftu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số Un biết : [tex]\left\{\begin{matrix} U1=\frac{3}{4} & \\ U(n+1)=3Un-n-1& \end{matrix}\right.[/tex]
Tìm Un
Giúp mình với ạ

 

[Lê.T.Hà]

[tex]u_{n+1}=3u_{n}-n-1\Leftrightarrow u_{n+1}-\frac{1}{2}(n+1)-\frac{3}{4}=3\left ( u_{n}-\frac{1}{2}n-\frac{3}{4} \right )[/tex]
Đặt [tex]v_{n}=u_{n}-\frac{1}{2}n-\frac{3}{4}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} v_{1}=u_{1}-\frac{1}{2}.1-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2} & \\ v_{n+1}=3v_{n} & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow v_{n}[/tex] là CSN với công bội 3
[tex]\Rightarrow v_{n}=-\frac{1}{2}.3^{n-1}\Rightarrow u_{n}=v_{n}+\frac{1}{2}n+\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}3^{n-1}+\frac{n}{2}+\frac{3}{4}[/tex]

 

[matheverytime]

[tex]u_{n+1}-3u_{n}=-n-1[/tex]
xét phường trình tuyến tính cấp 1:
[tex]\lambda -3=0\Rightarrow \lambda=3[/tex]
ta có VP là hàm bậc 1 với [tex]\beta =1[/tex] không phải là nghiệm của [tex]\lambda -3=0[/tex]
Giải thích: chắc em hiểu tại sao nó phương trình bậc 1 chứ
còn [tex]\beta =1[/tex] thì [tex](-n-1).1^n[/tex]
=> [tex]\lambda -3=0[/tex] có nghiệm riêng là: [tex]x_{n}^*=(An+B).1^n=An+B[/tex]
=>[tex]A(n+1)+B-3(An+B)=-n-1\Leftrightarrow -2An+A+B-3B=-n-1[/tex]
=>[tex]\left\{\begin{matrix} -2A=-1 =>A=\frac{1}{2} & \\ A-2B=-1 =>\frac{1}{2}-2B=-1 =>B=\frac{3}{4} & \end{matrix}\right.[/tex]
=> nghiệm của phương trình [tex]u_{n+1}-3u_{n}=-n-1[/tex] => [tex]u_{n}=C.3^n+\frac{1}{2}n+\frac{3}{4}[/tex]
thay [tex]n=1[/tex] vào ta được:
[tex]\frac{3}{4}=3C+\frac{1}{2}+\frac{3}{4} \Leftrightarrow C=\frac{-1}{6}[/tex]
=>[tex]u_{n}=\frac{-1}{6}.3^n+\frac{1}{2}n+\frac{3}{4}[/tex]