Đặt [imath]t=\ln x[/imath] thì phương trình ban đầu trở thành [imath]at^2+bt+2c=0 (1)[/imath]
Để phương trình có [imath]2[/imath] nghiệm phân biệt thì [imath]\Delta =b^2-8ac >0 \Leftrightarrow 8ac<b^2[/imath]
Yêu cầu bài toán tương đương với tìm [imath]a[/imath] nguyên dương nhỏ nhất để tồn tại [imath]b,c \in \mathbb{Z}[/imath] sao cho [imath](1)[/imath] có [imath]2[/imath] nghiệm phân biệt [imath]t_1,t_2 \in (0,1)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \begin{cases} (t_1-1)(t_2-1) > 0 \\ t_1+t_2<2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t_1t_2-(t_1+t_2)+1 >0 \\0<t_1+t_2<2 \\ t_1t_2>0 \end{cases}(2)[/imath]
Áp dụng định lý Vi-ét ta có [imath]\begin{cases} t_1+t_2=-\dfrac{b}{a} \\ t_1t_2=\dfrac{2c}{a} \end{cases}[/imath]
Từ đó [imath](2) \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{2c+b+a}{a}>0 \\ 0<-\dfrac{b}{a}<2 \\ \dfrac{2c}{a}>0 \end{cases}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \begin{cases} 2c+b+a>0 \\ -2a<b<0 \\ c>0 \end{cases}[/imath]
Ta có [imath]-2a<b<0 \Rightarrow b^2<4a^2[/imath]. Mà [imath]8ac>b^2[/imath] nên [imath]8ac<4a^2 \Leftrightarrow c<\dfrac{a}{2}[/imath]
Vì [imath]a,b,c \in \mathbb{Z}[/imath] nên [imath]\Leftrightarrow \begin{cases} 2c+b+a \geq 1 \\ -2a+1 \leq b<0 \\ c>0 \end{cases}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \begin{cases} b \geq 1-a-2c \\ -2a+1 \leq b<0 \\ c>0 \end{cases}[/imath]
Vì [imath]1-a-2c \geq 1-2a[/imath] nên hệ trên tương đương với:
[imath]\Leftrightarrow \begin{cases} 0>b \geq 1-a-2c \\ c>0 \end{cases}[/imath]
Kết hợp với [imath]b^2>8ac[/imath] ta được [imath]\Leftrightarrow \begin{cases} -2\sqrt{2ac}>b \geq 1-a-2c \\ c>0 \end{cases}[/imath]
Nhận thấy để tồn tại [imath]b[/imath] thỏa mãn thì [imath]-2\sqrt{2ac}>1-a-2c \Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{2c})^2>1[/imath]
Vì [imath]a>2c \Rightarrow \sqrt{a}-\sqrt{2c} >1 \Rightarrow \sqrt{a}>1+\sqrt{2c} \geq 1+\sqrt{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow a>3+2\sqrt{2}[/imath]
Vì [imath]a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \geq 6[/imath].
Với [imath]a=6[/imath] ta chọn [imath]c=1,b=-7[/imath] ta thấy thỏa mãn. Vậy [imath]a=6[/imath].
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
