Mình sẽ chứng minh cái tính chất đấy nhé
@Ery_K
[imath]S_{ABC} = 2 \sin A . AB. AC = 2 \sin A . 2R . \sin B . 2R . \sin C = 8R^2 \sin A . \sin B . \sin C[/imath]
Mà tam giác ABC cân tại A nên [imath]B=C[/imath] hay [imath]S_{ABC} = 8R^2 \sin^2 B . \sin (180-2B) =8R^2.\sin^2 B .\sin 2B = 16R^2 .\sin ^3 B . \cos B[/imath]
Vì B là góc ở đáy nên [imath]0<B<90 \Rightarrow 0<\sin B, \cos B <1[/imath]
Khi này, áp dụng bất đẳng thức A-G cho 4 số ta có:
[imath]\dfrac{\sin^2 B}{3} +\dfrac{\sin^2 B}{3} +\dfrac{\sin^2 B}{3}+\cos^2 B \geq 4 \sqrt[4]{\dfrac{\sin^6 B .\cos^2 B}{27}}[/imath]
Mà [imath]\dfrac{\sin^2 B}{3} +\dfrac{\sin^2 B}{3} +\dfrac{\sin^2 B}{3}+\cos^2 B =1[/imath]
[imath]\Rightarrow \sin^3 B .\cos B \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{16} \Rightarrow S_{ABC} \leq 3\sqrt{3} R^2[/imath]
Dấu = xảy ra khi [imath]\sin^2 B = 3 \cos ^2 B \Rightarrow B =60[/imath]
Cảm ơn bạn đã theo dõi, có 1 lời giải không dùng lượng giác bạn có thể tham khảo thêm ở ngoai nhé!!
Ngoài ra mời bạn theo dõi Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
