Tìm nghiệm nguyên của pt?

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

a) $3x^2 + 4y^2 = 6x +13$

b) $x^2 + xy + y^2 = x^2y^2$

c) $x^2 - 6xy + 13y^2 = 100$

d) $y^2 = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4$

e) $1 + x + x^2 + x^3 = y^3$

f) $y^2 = x(x+1)(x+7)(x+8)$

g) $5x^2 + 6xy + 7y^2 = 1993$

 

[congchuaanhsang]

c) $x^2 - 6xy + 13y^2 = 100$

\Leftrightarrow $(x^2-6xy+9y^2)+4y^2=100$

\Leftrightarrow $(x-3y)^2+(2y)^2=100$

Tách 100 thành tổng 2 số chính phương rồi thử chọn là được

 

[congchuaanhsang]

f) $y^2 = x(x+1)(x+7)(x+8)$

\Leftrightarrow $y^2=(x^2+8x)(x^2+8x+7)$

Đặt $x^2+8x=a$

$a(a+7)=y^2$ \Leftrightarrow $a^2+7a=y^2$

\Leftrightarrow $4a^2+28a=(2y)^2$

\Leftrightarrow $4a^2+28a+49=(2y)^2+49$

\Leftrightarrow $(2a+7)^2=(2y)^2+49$

\Leftrightarrow $(2a-2y+7)(2a+2y+7)=49$

Tới đây OK rồi

 

[congchuaanhsang]

b) $x^2 + xy + y^2 = x^2y^2$

\Leftrightarrow $(x^2+2xy+y^2)=x^2y^2+xy$

\Leftrightarrow $(x+y)^2=xy(xy+1)$

$xy(xy+1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp và là 1 số chính phương nên trong 2 số ít nhất 1 số bằng 0

*$xy=0$ ...........................

*$xy+1=0$ .................................

 

[angleofdarkness]

b) $x^2 + xy + y^2 = x^2y^2$

Pt \Leftrightarrow $x^2 + 2xy + y^2 = x^2y^2+xy$

\Leftrightarrow $(x+y)^2=xy(xy+1)$ (*)

Do x; y $\in$ Z nên từ (*) \Rightarrow $x+y=xy(xy+1)=0$

Giải tiếp đc rồi bạn nhé

 

[angleofdarkness]

e) $1 + x + x^2 + x^3 = y^3$

Dễ thấy $y^3>x^3$ do $1 + x + x^2>0$

Xét hiệu $(x+2)^3-y^3=5x^2+11x+7>0$

\Rightarrow $(x+2)^3>y^3$

\Rightarrow $x^3<y^3<(x+2)^3$

x; y $\in$ Z \Rightarrow $y^3=(x+1)^3$

Ok rồi.

 

[angleofdarkness]

a) $3x^2 + 4y^2 = 6x +13$

Pt \Leftrightarrow $3x^2-6x+3+4y^2=13+3$

\Leftrightarrow $3(x-1)^2+(2y)^2=16=0+16$

Mà $3(x-1)^2$ chia hết cho 3 nên $3(x-1)^2=0$ và $(2y)^2=16$

Giải ra x = 1; y = -2; 2

 

[angleofdarkness]

d) $y^2 = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4$

Pt \Leftrightarrow $(x^2+8x)(x^2+8x+7)=y^2.$

Đặt $x^2+8x=k$ với $k \in \mathbb{Z}$. Ta đưa về giải phương trình nghiệm nguyên $k(k+7)=y^2$.

Ổn nhé

Tớ làm rồi mà

ok, nhầm

 

[angleofdarkness]

d) $y^2 = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4$

Cách 2:

Nhân 4 vào cả hai vế rồi kẹp $(2y)^{2}$ giữa $(2x^{2}+x+2)^{2}$và $(2x^{2}+x)^{2}$ bằng phương pháp phân tích và xét hiệu như câu e mình đã làm ở trên

Rồi đc $(2y)^{2}=(2x^{2}+x+1)^{2}$

Lúc này phá ra tìm x, quay thử lại tìm y.

 

[angleofdarkness]

f) $y^2 = x(x+1)(x+7)(x+8)$

Cách 2:

Nhân 4 vào và nhóm ta đc: $(2y)^2=(2x^2+x)^2+2x^2+(x+2)^2$

Suy ra $(2y)^2>(2x^2+x)^2$, nên $(2y)^2 \ge (2x^2+x+1)^2.$ Do đó $$4x^4+4x^3+4x^2+4x+4 \ge 4x^4+x^2+1+4x^3+4x^2+2x$$
$\iff 0 \ge x^2-2x-3 \iff 0 \ge (x-1)(x-3) \iff -1 \le x \le 3.$

Nguồn : VMF =))

 

[manhnguyen0164]

Pt \Leftrightarrow $3x^2-6x+3+4y^2=13+3$

\Leftrightarrow $3(x-1)^2+(2y)^2=16=0+16$

Mà $3(x-1)^2$ chia hết cho 3 nên $3(x-1)^2=0$ và $(2y)^2=16$

Giải ra x = 1; y = -2; 2

Với cái 16=12+4 cũng được mà bạn..thõa mãn đó cớ..

 

[manhnguyen0164]

Dễ thấy $y^3>x^3$ do $1 + x + x^2>0$

Xét hiệu $(x+2)^3-y^3=5x^2+11x+7>0$

\Rightarrow $(x+2)^3>y^3$

\Rightarrow $x^3<y^3<(x+2)^3$

x; y $\in$ Z \Rightarrow $y^3=(x+1)^3$

Ok rồi.

Làm sao mà viết được $5x^2+11x+7>0$ được bạn..lỡ nó <0 thì sao

 

[hoamattroi_3520725127]

$5x^2 + 11x + 7 = 5(x^2 + \dfrac{11x}{5} + \dfrac{7}{5}) = 5(x^2 + 2.x.\dfrac{11}{10} + \dfrac{11^2}{10^2} + \dfrac{19}{100}) = 5(x + \dfrac{11}{10})^2 + \dfrac{19}{20}$ luôn lớn hơn 0 với mọi x rồi nhé!