Dễ thấy tổng và tích ước khác n của n đều là n. Ta sẽ chứng minh số ước của n không lớn hơn 4.
Thật vậy, giả sử n có trên 3 ước khác n là [tex]n_1,n_2,...,n_k[/tex]
Vì [tex]n_1.n_k=n_2.n_{k-1}=...=n\Rightarrow n_1.n_2...n_k=n_1.n_k.n_2....=n.n_2....> n[/tex]
Mà [tex]n_1.n_2.n_3...n_k=n\Rightarrow[/tex] Vô lí.
Vậy n chỉ có ít hơn 5 ước. Xét các trường hơp:
+ n có 4 ước. Đặt [tex]n=p^m.q^r...[/tex](p,q là số nguyên tố) [tex]\Rightarrow (n+1)(r+1)...=4\Rightarrow n=r=1[/tex]
[tex]\Rightarrow n=pq[/tex] [tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1+p+q=n\\ 1.p.q=n \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p+q=n-1\\ pq=n \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p=n-1-q\\ (n-1-q)q=n \end{matrix}\right.\Rightarrow q(n-1)-q^2=n\Rightarrow q^2-q(n-1)+n=0[/tex]
Để phương trình có nghiệm hữu tỉ thì [tex]\Delta =(n-1)^2-4n=n^2-6n+1=(n-3)^2-8[/tex] là số chính phương.
[tex](n-3)^2-8=k^2(k\in \mathbb{N})\Rightarrow (n-3)^2-k^2=8\Rightarrow (n-3-k)(n-3+k)=8\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n-3-k=2\\ n-3+k=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n=6\\ k=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow n=6[/tex] (t/m)
+ n có 3 ước. Vì số ước lẻ nên n là số chính phương.
Đặt [tex]n=p^{2k}\Rightarrow 2k+1=3\Rightarrow k=1\Rightarrow n=p^2[/tex]
Tổng các ước của n là [tex]1+p+p^2=2p^2\Rightarrow 1+p=p^2(không có nghiệm nguyên)[/tex]
+n có 2 ước. Dễ thấy n là số nguyên tố(không t/m)
Vậy n = 6.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
