Ta có $n^5-n+2=n(n+1)(n-1)(n^2+1)+2$
Vì n-1,n,n+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp =>Trong 3 số sẽ có ít nhất 1 số chẵn
=> $n(n+1)(n-1)(n^2+1)$ chia hết cho 2 (1)
Ta xét 3 trường hợp
+Nếu [tex]n\vdots 5\Rightarrow n(n+1)(n-1)(n^2+1)\vdots 5[/tex]
+Nếu $n:5$ dư 1 hoặc dư 4 khi đó n-1 hoặc n+1 chia hết cho 5
+Nếu $n:5$ dư 2 hoặc 3 thì n có dạng 5k+2 hoặc 5k+3
Khi đó $n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+4+1=25k^2+20k+5=5(5k^2+4k+1)\vdots 5$
hoặc $n^2+1=(5k+3)^2+1=25k^2+30k+9+1=25k^2+30k+10=5(5k^2+6k+2)\vdots 5$
=> $n(n+1)(n-1)(n^2+1)$ luôn luôn chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2)=> $n(n+1)(n-1)(n^2+1)$ chia hết cho 10
=> $n(n+1)(n-1)(n^2+1)+2$ tận cùng là 2
=> $n(n+1)(n-1)(n^2+1)+2$ không thể là số chính phương
hay không có giá trị n tự nhiên nào để $n^5-n+2$ là số chính phương
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
