Tìm n thuộc N

[tranvankhoai2007]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Sao cứ bị xóa bài gửi vậy các Mod??
Tìm n thuộc N để các số tự nhiên A được biểu diễn bởi (n-1) chữ số 1 và 1 chữ số 7 đều là số nguyên tố

 

[thinhrost1]

Đặt $A_i=11111..11$ (i chữ số 1)

Ta có:

$M=A_n+6.10^k ( 0 \leq k\leq n-1)$

Cho Mà với t,r là các số tự nhiên, $ 5 \geq r \geq 1$, ta được:

$A_{6t+r} \equiv A_{6t}+10^{6t}A_r \equiv A_r (mod 7)\\\Rightarrow A_{6t+r} \equiv 0 (mod 7) \Leftrightarrow r=0$

nghĩa là $ n \vdots 6$

Với $n \not \vdots 6$ Ta sẽ có: $A_n \equiv q (mod 7) ( 6 \geq q 1)$

*Với n>6, $n \vdots 6$ ta luôn tìm được số k thích hợp, $0 \leq k \leq5$ sao cho: $M=A_n+6.10^k =0( mod 7)$

*Với $n \vdots 6$ ta có: $M \vdots 3$

Từ các lập luận ta suy raa được số n cần tìm phải thoả mãn: $1 \leq n \leq5$

Với $n=1$ ta có duy nhất số $M=7$. Số này là số nguyên tố nên $n=1$ là một số cần phải tìm.

Với$ n=2$ ta có tất cả hai số M là $M=17$ và $M=71$

Với$ n=3$ ta có$ M=117$ là hợp vì chia hết cho 3

Với$ n=4$ thì ta có: $M=7111$ là hợp số vì $11711 \vdots 7$

Vậy tóm lại, có tất cả hai số tự nhiên n thoả mãn yêu cầu đề bài là $n=1$ và $n=2$