Bài này có thể tổng quát thành
Cho a,b,c là các số thực dương và số tự nhiên [imath]n \ge 2[/imath] . Chứng minh rằng
[math]\sum \left ( \dfrac{a}{a+b} \right )^n \ge \dfrac{3}{2^n}[/math]
Mình sẽ chứng minh bài này và bạn chỉ cần thay [imath]n=4[/imath] vào là được
Áp dụng bất đẳng thức trung bình lũy thừa ta được
[math]\left (\dfrac{1}{3}\sum \left ( \dfrac{a}{a+b} \right )^n \right )^{\dfrac{1}{n}} \ge \left (\dfrac{1}{3}\sum \left ( \dfrac{a}{a+b} \right )^2 \right )^{\dfrac{1}{2}}[/math]
Ta có [math]\left (\sum \left ( \dfrac{a}{a+b} \right )^2 \right )\left (\sum (a+b)^2(a+c)^2 \right )\geq \left ( \sum a(a+c) \right )^2=\dfrac{\left ( \sum (a+b)^2 \right )^2}{4}\geq \dfrac{3\left ( \sum (a+b)^2(a+c)^2 \right )}{4}[/math][math]\Rightarrow \sum \left ( \dfrac{a}{a+b} \right )^2\geq \dfrac{3}{4}[/math]Do đó [math]\left (\dfrac{1}{3}\sum \left ( \dfrac{a}{a+b} \right )^n \right )^{\dfrac{1}{n}} \ge \left (\dfrac{1}{3}\sum \left ( \dfrac{a}{a+b} \right )^2 \right )^{\dfrac{1}{2}}\geq \left (\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{4} \right )^{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}[/math][math]\Rightarrow \sum \left ( \dfrac{a}{a+b} \right )^n \ge \dfrac{3}{2^n}[/math]
Với [imath]n=4[/imath] thì ta được [math]\sum \left ( \dfrac{a}{a+b} \right )^4 \ge \dfrac{3}{16}[/math]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
