Toán 12 Tìm min

[minhloveftu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giả sử [imath]z_1,z_2[/imath] là hai trong các số phức thỏa mãn [imath](z-6)(8-\overline{z}i)[/imath] là số thực. Biết [imath]|z_1-z_2|=6[/imath]. Giá trị nhỏ nhất của [imath]|z_1+3z_2|[/imath] bằng:
A. [imath]20-4\sqrt{21}[/imath]
B. [imath]-5+\sqrt{73}[/imath]
C. [imath]20-2\sqrt{73}[/imath]
D. [imath]5-\sqrt{21}[/imath]
giúp em theo pp đại số với ạ

 

[7 1 2 5]

Giả sử [imath]z_1,z_2[/imath] là hai trong các số phức thỏa mãn [imath](z-6)(8-\overline{z}i)[/imath] là số thực. Biết [imath]|z_1-z_2|=6[/imath]. Giá trị nhỏ nhất của [imath]|z_1+3z_2|[/imath] bằng:
A. [imath]20-4\sqrt{21}[/imath]
B. [imath]-5+\sqrt{73}[/imath]
C. [imath]20-2\sqrt{73}[/imath]
D. [imath]5-\sqrt{21}[/imath]
giúp em theo pp đại số với ạ

landghostĐặt [imath]z=a+bi[/imath] thì [imath](z-6)(8-\overline{z}i)=(a-6+bi)[8-(ai-b)]=[(a-6)+bi][(8+b)-ai]=(8+b)(a-6)+ab+[b(8+b)-a(a-6)]i[/imath]
Để số trên là số thực thì [imath]b(8+b)-a(a-6)=0 \Leftrightarrow 6a+8b=a^2-b^2[/imath]
Từ đó nếu đặt [imath]z_1=a_1+b_1i,z_2=a_2+b_2i[/imath] thì [imath]\begin{cases} a_1^2-b_1^2=6a_1+8b_1 \\ a_2^2-b_2^2=6b_2+8b_2 \end{cases}[/imath]
Lại có: [imath]|z_1-z_2|=6 \Rightarrow (a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2=36[/imath]
Ta cần đi tìm [imath]\min (a_1+3a_2)^2+(b_1+3b_2)^2[/imath]
Đến đây em thấy chỉ có cách dùng biến đổi hình học đường tròn và vecto thì mới làm tiếp dễ dàng ạ.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022

 

[minhloveftu]

Đặt [imath]z=a+bi[/imath] thì [imath](z-6)(8-\overline{z}i)=(a-6+bi)[8-(ai-b)]=[(a-6)+bi][(8+b)-ai]=(8+b)(a-6)+ab+[b(8+b)-a(a-6)]i[/imath]
Để số trên là số thực thì [imath]b(8+b)-a(a-6)=0 \Leftrightarrow 6a+8b=a^2-b^2[/imath]
Từ đó nếu đặt [imath]z_1=a_1+b_1i,z_2=a_2+b_2i[/imath] thì [imath]\begin{cases} a_1^2-b_1^2=6a_1+8b_1 \\ a_2^2-b_2^2=6b_2+8b_2 \end{cases}[/imath]
Lại có: [imath]|z_1-z_2|=6 \Rightarrow (a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2=36[/imath]
Ta cần đi tìm [imath]\min (a_1+3a_2)^2+(b_1+3b_2)^2[/imath]
Đến đây em thấy chỉ có cách dùng biến đổi hình học đường tròn và vecto thì mới làm tiếp dễ dàng ạ.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022

7 1 2 5Mình khá kém phần biến đổi hình học ấy, bạn chỉ mình với được không ?

 

[7 1 2 5]

Mình khá kém phần biến đổi hình học ấy, bạn chỉ mình với được không ?

landghostÀ chị ơi em hỏi chút phần đề là [imath](z-6)(8-\overline{z}i)[/imath] hay [imath](z-6)(8-\overline{zi})[/imath] ạ?

 

[minhloveftu]

À chị ơi em hỏi chút phần đề là [imath](z-6)(8-\overline{z}i)[/imath] hay [imath](z-6)(8-\overline{zi})[/imath] ạ?

7 1 2 5
đây nhé chỉnh lại một tí

 

[7 1 2 5]

Đặt [imath]z=a+bi[/imath] thì [imath](z-6)(8-\overline{z}i)=(a-6+bi)[8-(ai+b)]=[(a-6)+bi][(8+b)-ai]=(8-b)(a-6)+ab+[b(8-b)-a(a-6)]i[/imath]
Để số trên là số thực thì [imath]b(8+b)-a(a-6)=0 \Leftrightarrow (a-3)^2+(b-4)^2=25[/imath]
Từ đó nếu đặt [imath]z_1=a_1+b_1i,z_2=a_2+b_2i[/imath] thì [imath]A,B \in (C)[/imath] có [imath]I=(3,4)[/imath] và [imath]R=5[/imath].
[imath]\Rightarrow OI=5[/imath]
Lại có: [imath]|z_1-z_2|=6 \Rightarrow AB=6[/imath]
Ta cần đi tìm [imath]\min (a_1+3a_2)^2+(b_1+3b_2)^2=|\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}|[/imath]
Lấy [imath]M[/imath] sao cho [imath]\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}[/imath] thì:
[imath]|\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+3(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB})|=|4\overrightarrow{OM}|=4OM[/imath]
Mặt khác, nếu ta lấy [imath]J[/imath] là trung điểm [imath]AB[/imath] thì ta tính được [imath]BM=MJ=\dfrac{3}{2}[/imath] và [imath]IJ=\sqrt{IB^2-BJ^2}=4[/imath]
[imath]\Rightarrow IM=\sqrt{IJ^2+JM^2}=\dfrac{\sqrt{73}}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow OM \geq |OI-IM|=|5-\dfrac{\sqrt{73}}{2}|=\dfrac{10-\sqrt{73}}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow |z_1+3z_2| = 4OM \geq 20-2\sqrt{73}[/imath]