Tìm Min

[mua_sao_bang_98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z>0; x+y+z=1

Tìm GTNN của BT

$P=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(x+z)}{xz}+\frac{z^2(x+y)}{xy}$

 

[vuive_yeudoi]

Cho x,y,z>0; x+y+z=1

Tìm GTNN của BT

$P=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(x+z)}{xz}+\frac{z^2(x+y)}{xy}$

Có:
$$ P=\sum \frac{x^2(y+z)}{yz} =\sum \frac{x^2}{\frac{yz}{y+z}} $$
Dùng Cauchy Schwarz:
$$ P=\sum \frac{x^2}{\frac{yz}{y+z}} \ge \frac{(x+y+z)^2}{\sum \frac{yz}{y+z}} = \frac{1}{\sum \frac{yz}{y+z}}$$
Lại theo AM-GM:
$$ \sum \frac{yz}{y+z} \le \sum \frac{(y+z)}{4} =\frac{1}{2} $$
Vậy nên:
$$ P \ge \frac{1}{ \sum \frac{yz}{y+z}} \ge 2 $$
Với $x=y=z=\frac{1}{3}$ thì:
$$ P=2$$
Vậy:
$$ P_{min}=2 $$

 

[vuive_yeudoi]

http://diendan.hocmai.vn/showthread....09#post2423109
anh chị ơi bài này có cách nào khác không ạ?

Cho x,y,z>0; x+y+z=1

Tìm GTNN của BT

$P=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(x+z)}{xz}+\frac{z^2(x+y)}{xy}$

Anh không thấy mấy cái sau có gì khác nhau nhiều lắm , nhưng em muốn thì anh viết ra em coi thử nhé.

Nếu ban đầu em dùng :
$$ yz \le \frac{(y+z)^2}{4} $$
Thì sẽ đưa về một cái khá quen thuộc như sau:
$$ P \ge \sum \frac{4x^2}{y+z}=Q $$
Lúc ấy để chứng minh:
$$ Q \ge 2 $$
Thì em có thể dùng Cauchy Schwarz:
$$ Q= \sum \frac{4x^2}{y+z} \ge \frac{4(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=2 $$
Hay là dùng AM-GM:
$$ \frac{4x^2}{y+z}+(y+z) \ge 4x $$
Suy ra:
$$ Q \ge 2(x+y+z)=2 $$
Hay là biến đổi kiểu S.O.S để tìm ra được đẳng thức kiểu như:
$$ Q=2(x+y+z)+\frac{2(x+y+z)\left( (x+y)(x-y)^2+(y+z)(y-z)^2+(z+x)(z-x)^2 \right)}{(x+y)(y+z)(z+x)} \ge 2(x+y+z)=2 $$

 

[eye_smile]

$P=x^2(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})+y^2(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z})+z^2(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}) \ge \dfrac{4x^2}{y+z}+\dfrac{4y^2}{x+z}+\dfrac{4z^2}{x+y} \ge \dfrac{4(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=2$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=y=z=\dfrac{1}{3}$