Toán 12 Tìm Min , với x,y > 1

[thaolunbeo19]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]S = \frac{ x^2 }{ y-1 } + \frac{ y ^2 }{ x-1 }[/TEX]

Bên cạnh đề bài trên mình có 1 câu hỏi : 1 tuần nữa thi rồi nhưng mình chưa có trong tay đủ lượng kiến thức để kiếm được điểm của câu BĐT liệu có bạn nào có thể đưa cho mình vài bí kíp để kiếm từ 0,25 ~> 0,5 của phần BĐT này trong đề thi k ???

 

[huynhbachkhoa23]

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz(Bunyakovsky):

$\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\ge \dfrac{(x+y)^2}{(x+y)-2} = \dfrac{t^2}{t-2}$ với $t>2$

Đến đây khảo sát hàm $f(t)=\dfrac{t^2}{t-2}$ với $t>2$

$f'(t)=0 \leftrightarrow t=4$

$f''(4)>0$

$\text{min BT}=8 \leftrightarrow x=y=2$

P/s: Chị chém hết cuốn Chuyên đề BDT ôn thi đại học là được =))

 

[vansang02121998]

$\dfrac{x^2}{y-1}+4(y-1) \ge 4x$

$\dfrac{y^2}{x-1}+4(x-1) \ge 4y$

$\Rightarrow \dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1} \ge 8$

 

[thaolunbeo19]

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz(Bunyakovsky):

$\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\ge \dfrac{(x+y)^2}{(x+y)-2} = \dfrac{t^2}{t-2}$ với $t>2$

Đến đây khảo sát hàm $f(t)=\dfrac{t^2}{t-2}$ với $t>2$

$f'(t)=0 \leftrightarrow t=4$

$f''(4)>0$

$\text{min BT}=8 \leftrightarrow x=y=2$

P/s: Chị chém hết cuốn Chuyên đề BDT ôn thi đại học là được =))

Có 5 % cuối k hiểu thôi tại sao x= y = 2 thế bạn )

 

[huynhbachkhoa23]

Có 5 % cuối k hiểu thôi tại sao x= y = 2 thế bạn )

Tại vì điểm rơi trong BDT Cauchy-Schwarz ở đây là: $\dfrac{x}{y-1}=\dfrac{y}{x-1}$

(BDT Cauchy-Schwarz: $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge \dfrac{(a+b)^2}{x+y}$

Dấu bằng khi $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$)

$\leftrightarrow x=y$

Lại có biến dồn $t=x+y$ cực trị tại $t=4$ nên $x,y$ cực trị tại $x=y=2$

 

[eye_smile]

$\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1} \ge 2.\sqrt{\dfrac{x^2}{y-1}.\dfrac{y^2}{x-1}}=2.\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}.\dfrac{y}{\sqrt{y-1}}$

Có: $x-1+1\ge 2\sqrt{x-1}$

\Leftrightarrow $\dfrac{x}{\sqrt{x-1}} \ge 2$

Tương tự, có: $\dfrac{y}{\sqrt{y-1}} \ge 2$

\Rightarrow $BT \ge 8$