Tìm min $P=(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) $

[tuyetvoiss1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1>>> Chứng minh rằng $(x^m+x^n+1)$ chia hết cho $x^2+x+1$ khi và chỉ khi $(mn-2)$ chia hết cho 3.
Áp dụng pt đa thức sau thành nhân tử x^7+x^2+1

2>>> Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+45$

3>>> Cho a,b,c là 3 số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

 

[hoang_duythanh]

1>>> Chứng minh rằng (x^m+x^n+1) chia hết cho X^2+x+1 khi và chỉ khi (mn-2)chia hết cho 3.
Áp dụng pt đa thức sau thành nhân tử x^7+x^2+1

2>>> Tìm giá trị nhỏ nhất của A=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+45

3>>> Cho a,b,c là 3 số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)

Câu 3 :
\Leftrightarrow[TEX]1+1+1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}[/TEX],(nhân tung ra)
áp dụng bất đẳng thức :
[TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq2[/TEX](với x,y >0)(cái này chỉ cẩn áp dụng bất đẳng thức cô- si cho 2 số dương là ra)
=>[TEX]1+1+1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq1+1+1+2+2+2=9[/TEX]
=> Min P=9 đạt khi a=b=c

 

[hiensau99]

1>>> Chứng minh rằng (x^m+x^n+1) chia hết cho X^2+x+1 khi và chỉ khi (mn-2)chia hết cho 3.
Áp dụng pt đa thức sau thành nhân tử x^7+x^2+1

2>>> Tìm giá trị nhỏ nhất của A=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+45

3>>> Cho a,b,c là 3 số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)

Bài 1: Đặt m=3a+b; n=3c+d $0 \le b;d \le 2$

Ta có $x^m+x^n+1\\= x^{3a+b}+x^{3c+d}+1 \\=x^{3a}x^b+x^{3c}x^d+1 \\= x^{3a}x^b-x^b+ x^{3c}x^d-x^d+1+x^d+x^b\\= x^b{x^{3a}-1}+ x^d(x^{3c}-1)+ (1+x^d+x^b)$

- ta có: $(x^{3a}-1) \vdots (x^3-1) \to (x^{3a}-1) \vdots x^2+x+1$
- CM tương tự với $x^d(x^{3c}-1)$
- Nên $x^m+x^n+1 \vdots x^2+x+1 \leftrightarrow 1+x^d+x^b \vdots x^2+x+1$. Mà $0 \le b;d \le 2$
+ TH1: $b=1; d=2 $ thì $mn-2=(3a+1)(3c+2)-2= 9ac+6a+3c$ \vdots 3
+ TH2: $b=2; d=1 $ CM tương tự

Vậy: $x^m+x^n+1$ chia hết cho $X^2+x+1$ khi và chỉ khi $(mn-2)$ chia hết cho 3

Áp dụng $x^7+x^2+1=(x^2+x+1)(x^5-x^4+x^2-x+1)$

Bài 2: $A=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+45$
$= (x^2-2xy+y^2)-12(x-y)-10y+5y^2+36+5+4$
$= (x-y)^2-12(x-y)+36 +5y^2-10y+5+4$
$= (x-y-6)^2+5(y-1)^2+4 \ge 4$

Min A=4 $<-> x=7; y=1$

 

[su10112000a]

câu 3:
ta có:
$P=(a+b+c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})$
$\rightarrow P \ge (a+b+c)(\dfrac{9}{a+b+c})$
$\rightarrow P \ge 9$
dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

 

[buitam2000]

1>>> Chứng minh rằng $(x^m+x^n+1)$ chia hết cho $x^2+x+1$ khi và chỉ khi $(mn-2)$ chia hết cho 3.
Áp dụng pt đa thức sau thành nhân tử x^7+x^2+1

2>>> Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+45$

3>>> Cho a,b,c là 3 số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

Bài làm:
Bài 3:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:
(a+b+c).$(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c})$ [TEX]\geq[/TEX] 3.$\sqrt[3]{abc}$. 3.$\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$ = 9 \Rightarrow$ Min P = 9 $\Leftrightarrow$ a+b+c = $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c}$ \Leftrightarrow a=b=c=1