Toán 10 tìm Min, Max

[Daumath0t]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: CMR với mọi [TEX]\forall m \leq 1 [/TEX]thì [TEX]x^{2}-2(3m-1)x+m+3\geq 0 , \forall x \epsilon [1;\infty )[/TEX]

Bài 2: cho hàm số [tex]f(x)= \left | 2x-m \right |.[/tex] Tìm m để giá trị lớn nhất f(x) trên[tex]\left [ 1;2 \right ] [/tex]đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: cho hàm số [TEX]y= \left | \sqrt{2x-x^{2}} -3m+4\right |.[/TEX] Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là nhỏ nhất

Bài 4: cho [TEX]a,b,c \epsilon \left [ 0;2 \right ].[/TEX]Chứng minh rằng : [TEX]2(a+b+c)-(ab+bc+ac)\leq 4[/TEX]

Bài 5: cho [TEX]x,y,z \geq [/TEX]0 và [TEX]x+y+z[/TEX]=3.CM: [TEX]x^{2 }+y^{2}+ z^{2}+xyz\geq 4[/TEX]

 

[iceghost]

4) Ta có $(a-2)(b-2)(c-2) \leqslant 0 \iff abc + 4(a+b+c) - 2(ab+bc+ca) - 8 \leqslant 0$, mà $abc \geqslant 0$ nên $2(a+b+c) - (ab+bc+ca) \leqslant 4 - \dfrac12 abc \leqslant 4$
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c) = (0,2,k)$ và hoán vị, trong đó $k \in [0;2]$

5) Trong 3 số $x,y,z$ tồn tại $2$ số cùng phía so với $1$ trên trục số, giả sử hai số đó là $x$ và $y$ thì $(x-1)(y-1) \geqslant 0$, suy ra $xy \geqslant x+y - 1 = 2-z$
Ta có $x^2+y^2+z^2 +xyz$
$\geqslant 2xy + z^2 + xyz$
$\geqslant 2(2-z) + z^2 + (2-z)z$
$= 4$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z=1$

 

[Tạ Đặng Vĩnh Phúc]

2)
Xét hàm số y = 2x - m
Với mọi m thì đó chính là quỹ tích các đường thẳng song song (hoặc trùng) với y = 2x hay:


Đường màu xanh chính là đồ thị y = |2x - m|
Như vậy giá trị lớn nhất trên đoạn [1;2] ta dễ thấy đó chính là y(1) hoặc y(2)
hay max (|2-m|, |4-m|)
Bài toán quy về tính v = min của max (|2-m|, |4-m|)
Ta xét từ từ:
* Với m >= 4, thì v = max (m-2, m-4) chính là m - 2, để giá trị này min <=> m = 4, hay v là 2 (1)
* Với 2 <= m < 4 thì v = max (m-2, 4-m)
Để m-2 <= 4-m thì m <= 3 và max (| |, | |) ở TH này là 4-m, hay v = 1 (đạt tại m = 3) (2)
(Hoặc m-2>=4-m thì m >= 3 thì dấu "=" cũng xr tương tự)
* Với th m <= 2 thì v = max (2-m, 4-m), hay v = 4-m, v>=2, như vậy v = 2 tại m = 2 (3)

So sánh (1), (2), (3) suy ra m = 3 thỏa đề

 

[iceghost]

Bài 1: CMR với mọi [TEX]\forall m \leq 1 [/TEX]thì [TEX]x^{2}-2(3m-1)x+m+3\geq 0 , \forall x \epsilon [1;\infty )[/TEX]

Bài 2: cho hàm số [tex]f(x)= \left | 2x-m \right |.[/tex] Tìm m để giá trị lớn nhất f(x) trên[tex]\left [ 1;2 \right ] [/tex]đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: cho hàm số [TEX]y= \left | \sqrt{2x-x^{2}} -3m+4\right |.[/TEX] Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là nhỏ nhất

Bài 4: cho [TEX]a,b,c \epsilon \left [ 0;2 \right ].[/TEX]Chứng minh rằng : [TEX]2(a+b+c)-(ab+bc+ac)\leq 4[/TEX]

Bài 5: cho [TEX]x,y,z \geq [/TEX]0 và [TEX]x+y+z[/TEX]=3.CM: [TEX]x^{2 }+y^{2}+ z^{2}+xyz\geq 4[/TEX]

1/ $f(x) = x^2 - 2(3m-1)x + m+3$. Dễ thấy đồ thị của $f(x)$ quay lên
$\Delta_x = (3m-1)^2 - (m+3) = 9m^2 - 7m - 2 = (m-1)(9m+2)$
Với $-\dfrac{2}9 \leqslant m \leqslant 1$ thì $\Delta_x \leqslant 0$ nên $f(x) \geqslant 0, \forall x$
Với $m < -\dfrac{2}9$ thì pt có hai nghiệm phân biệt $x_1 > x_2$
Ta cần chứng minh $1 > x_1 > x_2$ hay $1 > \dfrac{x_1 + x_2}2$ là đủ. Do $\dfrac{x_1 + x_2}2 = 3m-1 < 1 ,\forall m < -\dfrac{2}9$. Theo tính đồng biến của tam thức bậc hai thì $\forall x \geqslant 1, m < -\dfrac{2}9 : f(x) \geqslant f(1) = 6 - 5m > 0$.
Vậy...

 

[iceghost]

3/ Bạn làm tương tự bài 2. Đặt $-3m+4 = n$ cho dễ nhìn

(đồ thị xanh lá là $2x-x^2$, xanh dương là $\sqrt{2x-x^2}$, cam gạch sọc là $\sqrt{2x-x^2} + n$, đỏ là $|\sqrt{2x-x^2} + n|$, lưu ý trong hình đồ thị đỏ với đồ thị cam có chung phần giữa)
Để ý rằng, GTLN của đồ thị đỏ tức hàm số $y$ có thể là $y(0), y(1)$ hoặc $y(2)$. Do đó GTLN của $y$ là $y_\text{max} = \text{max}\{ y(0); y(1); y(2)\} = \text{max} \{ |n|; |1+n|; |n|\} = \text{max} \{ |n|; |1+n|\}$. Ta cần tìm $n$ sao cho $y_\text{max}$ nhỏ nhất
+) Với $n \leqslant -1$ thì $y_\text{max} = \text{max} \{ -n ; -n-1 \} = -n \geqslant 1$
+) Với $-1 < n \leqslant 0$ thì $y_\text{max} = \text{max} \{ -n ; n+1 \}$

• TH1: $-n \leqslant n+1$ tức $n \geqslant -\dfrac12$ thì $\text{max} \{ -n ; n+1 \} = n+1 \geqslant \dfrac12$
• TH2: $-n > n+1$ tức $n < -\dfrac12$ thì $\text{max} \{ -n;n+1\} = -n > \dfrac12$

Do vậy $y_{max} \geqslant \dfrac12$
+) Với $0 < n$ thì $y_\text{max} = \text{max} \{ n;n+1\} = n+1 > 1$
Từ 3TH trên ta suy ra $y_\text{max} \geqslant \dfrac12$, dấu '=' xảy ra khi $n = -\dfrac12$ hay $m = \ldots$. Vậy...