tìm min, max

[nhoc_vip_qk98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x^2 + y^2 + z^2 =1. Tìm min, max của P= x+ y+z + xy + yz+ xz

 

[king_wang.bbang]

cho x^2 + y^2 + z^2 =1. Tìm min, max của P= x+ y+z + xy + yz+ xz

Có:

$1 = {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{3}$

\Rightarrow $ - \sqrt 3 \le x + y + z \le \sqrt 3 $

Lại có:

${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$

\Leftrightarrow $\frac{{{{(x + y + z)}^2} - 1}}{2} = xy + yz + xz$

Vậy: $P = x + y + z + \frac{{{{(x + y + z)}^2} - 1}}{2}$

Đặt:

$t = x + y + z$

$ - \sqrt 3 \le t \le \sqrt 3 $

P trở thành:

$P = t + \frac{{{t^2} - 1}}{2}$

Tới đây tìm đạo hàm, tìm min max của hàm số theo điều kiện đã cho

 

[sam_chuoi]

Umbala

cho x^2 + y^2 + z^2 =1. Tìm min, max của P= x+ y+z + xy + yz+ xz

đặt t=x+y+z. Ta có $t^2=(x+y+z)^2\le3(x^2+y^2+z^2)=3 -> -\sqrt[]{3}\let\le\sqrt[]{3}$. Có $P=x+y+z+xy+yz+xz=x+y+z+\dfrac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2}=t+\dfrac{t^2-1}{2}$. Do $-\sqrt[]{3}\let\le\sqrt[]{3} -> 1-\sqrt[]{3}\leP\le1+\sqrt[]{3} (pp hàm số)$. Vậy $MinP=1-\sqrt[]{3} <=> x=y=z=\dfrac{-1}{\sqrt[]{3}}$. $MaxP=1+\sqrt[]{3} <=> x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt[]{3}}$.

 

[congchuaanhsang]

cho x^2 + y^2 + z^2 =1. Tìm min, max của P= x+ y+z + xy + yz+ xz

Cauchy-Schwarz:

$(x+y+z)^2$ \leq $3(x^2+y^2+z^2)=3$

\Leftrightarrow $|x+y+z|$ \leq $\sqrt{3}$

$x+y+z$ \leq $|x+y+z|$ \leq $\sqrt{3}$

Lại có $xy+yz+xz$ \leq $x^2+y^2+z^2=1$

\Rightarrow $P$ \leq $1+\sqrt{3}$

$P_{max}=1+\sqrt{3}$ \Leftrightarrow $x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$