tìm max

[apple10]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c là 3 số thực dương thoả mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = 1/(a^2 + 2b^2 + 3) + 1/(b^2 + 2c^2 + 3) + 1/ (c^2 + 2a^2 +3)
tks

 

[jet_nguyen]

Cho a, b, c là 3 số thực dương thoả mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P = \dfrac{1}{a^2 + 2b^2 + 3} + \dfrac{1}{b^2 + 2c^2 + 3} + \dfrac{1}{ c^2 + 2a^2 +3}$$
Gợi ý:
Áp dụng BDT Cosi ta có:
$$\dfrac{1}{a^2 + 2b^2 + 3}=\dfrac{1}{a^2+b^2+b^2+1+2} \le \dfrac{1}{2ab+2b+2}$$ Tương tự ta có:
$$\dfrac{1}{b^2 + 2c^2 + 3} \le \dfrac{1}{2bc+2c+2}$$$$ \dfrac{1}{ c^2 + 2a^2 +3} \le \dfrac{1}{2ac+2a+2}$$ Công lại ta được:
$$P \le \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab+b+1} + \dfrac{1}{bc+c+1} + \dfrac{1}{ac+a+1} \right)$$$$=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{1+bc+c} + \dfrac{1}{bc+c+1} + \dfrac{bc}{c+1+bc} \right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1+bc+c}{1+c+bc} \right)=\dfrac{1}{2} \,\ \mbox{ (Do abc=1)} $$ Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$