Xét [imath]z=a+bi[/imath] [imath](a,b \in \mathbb{R})[/imath] thỏa mãn: [imath]|z-4-3i| = \sqrt{5}[/imath] Tính [imath]P=a+b[/imath] khi [imath]|z+1-3i|+|z-1+i|[/imath] đạt GTLN
giúp em với ạ
@Timeless time @chi254
landghost
Từ giả thiết [imath]|z-4-3 i|=\sqrt{5} \Leftrightarrow(a-4)^{2}+(b-3)^{2}=5 .[/imath] Đặt [imath]\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{5} \sin \alpha+4 \\ b=\sqrt{5} \cos \alpha+3\end{array}\right.[/imath]
Khi đó [imath]T=|z+1-3 i|+|z-1+i|=\sqrt{(a+1)^{2}+(b-3)^{2}}+\sqrt{(a-1)^{2}+(b+1)^{2}}[/imath]
[imath]=\sqrt{(\sqrt{5} \sin \alpha+5)^{2}+(\sqrt{5} \cos \alpha)^{2}}+\sqrt{(\sqrt{5} \sin \alpha+3)^{2}+(\sqrt{5} \sin \alpha+4)^{2}}[/imath]
[imath]=\sqrt{10 \sqrt{5} \sin \alpha+30}+\sqrt{6 \sqrt{5} \sin \alpha+8 \sqrt{5} \cos \alpha+30}[/imath]
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có
[math]M \leq \sqrt{\left(1^{2}+1^{2}\right)(16 \sqrt{5} \sin \alpha+8 \sqrt{5} \cos \alpha+60)}=\sqrt{2[8 \sqrt{5}(2 \sin \alpha+\cos \alpha)+60]}[/math]
và [imath]2 \sin \alpha+\cos \alpha \leq \sqrt{\left(2^{2}+1^{2}\right)\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)}=\sqrt{5}[/imath].
Suy ra [imath]M \leq \sqrt{2[8 \sqrt{5}(2 \sin \alpha+\cos \alpha)+60]} \leq \sqrt{2(8 \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+60)}=10 \sqrt{2}[/imath].
Nên [imath]M_{\max }=10 \sqrt{2}[/imath] khi [imath]\left\{\begin{array}{c}\sin \alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}} \\ \cos \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{5} \sin \alpha+4=6 \\ b=\sqrt{5} \cos \alpha+3=4\end{array}\right.\right.[/imath]. Vậy [imath]P=a+b=10[/imath].
Có gì không hiểu thì em hỏi lại nha
Tặng em topic ôn thi thpt môn toán
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
