Cho x,y,z là ba số thực thay đổi. Tìm giá trí lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
\[\frac{{x + 2y + 3z}}{{\sqrt {{x^4} + 1} + \sqrt {{y^4} + 16} + \sqrt {{z^4} + 81} }}\]
$\eqalign{
& \cos i: \cr
& \sqrt {{x^4} + 1} \ge \sqrt {2{x^2}} = \sqrt 2 \left| x \right| \ge \sqrt 2 x \cr
& \sqrt {{y^4} + 16} \ge 2\sqrt 2 y \cr
& \sqrt {{z^4} + 81} \ge 3\sqrt 2 y \cr
& \to \sqrt {{x^4} + 1} + \sqrt {{y^4} + 16} + \sqrt {{z^4} + 81} \ge \sqrt 2 \left( {x + 2y + 3z} \right) \cr
& \leftrightarrow 1 \ge {{\sqrt 2 \left( {x + 2y + 3z} \right)} \over {\sqrt {{x^4} + 1} + \sqrt {{y^4} + 16} + \sqrt {{z^4} + 81} }} \cr
& dau = \leftrightarrow x = 1\;y = 2\;z = 3 \cr
& \cos i: \cr
& \sqrt {{x^4} + 1} \ge \sqrt 2 \left| x \right| \ge - \sqrt 2 \cr
& \sqrt {{y^4} + 16} \ge - 2\sqrt 2 y \cr
& \sqrt {{z^4} + 81} \ge - 3\sqrt 2 y \cr
& \to \sqrt {{x^4} + 1} + \sqrt {{y^4} + 16} + \sqrt {{z^4} + 81} \ge - \sqrt 2 \left( {x + 2y + 3z} \right) \cr
& \leftrightarrow 1 \ge {{ - \sqrt 2 \left( {x + 2y + 3z} \right)} \over {\sqrt {{x^4} + 1} + \sqrt {{y^4} + 16} + \sqrt {{z^4} + 81} }} \leftrightarrow - 1 \le {{\sqrt 2 \left( {x + 2y + 3z} \right)} \over {\sqrt {{x^4} + 1} + \sqrt {{y^4} + 16} + \sqrt {{z^4} + 81} }} \cr
& dau = \leftrightarrow a = - 1\;b = - 2\;z = - 3 \cr} $
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn