ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix} x \geq m & \quad(1) \\ x^2 - x - 2 \geq 0& \quad (2) \end{matrix}\right.$
Ta có:
$\sqrt{x^{2} - x - 2} = x - m$
$\implies x^{2} - x - 2 = (x - m)^2 = x^2 - 2mx + m^2$
$\implies m^2 - 2mx + x + 2 = 0$
$\implies x = \dfrac{m^2 + 2}{2m-1}$ (ĐK: $m \neq \dfrac{1}{2}$)
* Xét ĐK $(1)$: $x \geq m$
$\implies \dfrac{m^2 + 2}{2m-1} \geq m$
$\implies \dfrac{m^2 + 2}{2m-1} - m \geq 0$
$\implies \dfrac{m^2 + 2 - m(2m-1)}{2m-1} \geq 0$
$\implies \dfrac{-m^2 + m + 2}{2m-1} \geq 0 \,\, (*)$
$+)$ TH1: $m > \dfrac{1}{2} \,\, (a)$
$(*) \implies -m^2 + m + 2 \geq 0$
$\implies -1 \leq m \leq 2$
Kết hợp với $(a) \implies \dfrac{1}{2} < m \leq 2$
$+)$ TH2: $m < \dfrac{1}{2} \,\, (b)$
$(*) \implies -m^2 + m + 2 \leq 0$
$\implies m \leq -1$ hoặc $m \geq 2$
Kết hợp với $(b) \implies m \leq -1$
* Xét ĐK $(2)$: $x^2 - x - 2 \geq 0$
$\implies x \leq -1$ hoặc $x \geq 2$
$+)$ TH1: $x \leq -1$
$\implies \dfrac{m^2 + 2}{2m-1} \leq -1$
$\implies \dfrac{(m+1)^2}{2m-1}\leq 0$
$\implies m < \dfrac{1}{2} \,\, (1')$
$+)$ TH2: $x \geq 2$
$\implies \dfrac{m^2 + 2}{2m-1} \geq 2$
$\implies \dfrac{(m-2)^2}{2m-1} \geq 0$
$\implies m > \dfrac{1}{2} \,\, (2')$
Từ $(1'), (2') \implies$ ĐK $(2)$ luôn đúng với $\forall m \neq \dfrac{1}{2}$
Vậy phương trình có nghiệm $\iff$ $\dfrac{1}{2} < m \leq 2$ hoặc $m \leq -1$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
