Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt đều nguyên

R

rocket97

\[\begin{array}{l}
{x^2} - (2\sqrt m + 1)x + \sqrt m + 4 = 0\\
\Delta = {(2\sqrt m + 1)^2} - 4(\sqrt m + 4) = 4m + 4\sqrt m + 1 - 4\sqrt m - 16 = 4m - 15\\
\Delta > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{15}}{4} = 3\frac{3}{4}\\
{x_1} = \frac{{2\sqrt m + 1 + \sqrt {4m - 15} }}{2}\\
{x_2} = \frac{{2\sqrt m + 1 - \sqrt {4m - 15} }}{2}
\end{array}\]
2 nghiệm đều nguyên nên tổng 2 nghiệm cũng nguyên:
\[{x_1} + {x_2} = 2\sqrt m + 1\]
Bây giờ chỉ cần tìm điều kiện để $2\sqrt m + 1$ nguyên.
 
N

nghgh97

rocket97 said:
\[\begin{array}{l}
{x^2} - (2\sqrt m + 1)x + \sqrt m + 4 = 0\\
\Delta = {(2\sqrt m + 1)^2} - 4(\sqrt m + 4) = 4m + 4\sqrt m + 1 - 4\sqrt m - 16 = 4m - 15\\
\Delta > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{15}}{4} = 3\frac{3}{4}\\
{x_1} = \frac{{2\sqrt m + 1 + \sqrt {4m - 15} }}{2}\\
{x_2} = \frac{{2\sqrt m + 1 - \sqrt {4m - 15} }}{2}
\end{array}\]
2 nghiệm đều nguyên nên tổng 2 nghiệm cũng nguyên:
\[{x_1} + {x_2} = 2\sqrt m + 1\]
Bây giờ chỉ cần tìm điều kiện để $2\sqrt m + 1$ nguyên.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Mình nghĩ phải là tổng nghiệm và tích nghiệm đều nguyên chứ.
Nếu 2 nghiệm không nguyên cộng lại cũng có thể là số nguyên mà.
$$\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$$
 
L

linh123658

$x^2 - (2\sqrt{m} + 1)x + \sqrt{m} + 4 = 0$
$\Delta = (2\sqrt{m} + 1)^2 - 4(\sqrt{m} + 4) = 4m + 4\sqrt{m} + 1 - 4\sqrt{m} - 16 = 4m - 15$
$\Delta > 0$ \Leftrightarrow $m > \frac{15}{4}$
Để có nghiệm nguyên thì trước tiên phải có ngiệm hữu tỷ
\Rightarrow $\Delta$ phải là số chính phương
Ngoài ra $m$ cũng phải chính phương
\Rightarrow $4m-15$ và $m$ là số chính phương
Giải ra được $m=4$
thử với $m=4$ thấy thỏa mãn có 2 nghiệm nguyên
Vậy $.............$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom