Phương trình trên tương đương với:
[imath]\left[\begin{array}{l} x^2-x+m-2=0(x \geq 2) (1)\\-x^2+x+m+2=0(x <2)(2)\end{array}\right.[/imath]
Ta thấy mỗi phương trình (1),(2) có tối đa [imath]2[/imath] nghiệm nên để phương trình ban đầu có [imath]3[/imath] nghiệm thì (1),(2) đều phải có nghiệm.
[imath]\Leftrightarrow \Delta _1=1-4(m-2)>0[/imath] và [imath]1+4(m+2)>0[/imath]
$\Leftrightarrow -\dfrac{9}{4}<m<\dfrac{-9}{4}
Để phương trình ban đầu có [imath]3[/imath] nghiệm phân biệt thì phải xảy ra [imath]1[/imath] trong các trường hợp sau:
+ (1),(2) đều có 2 nghiệm phân biệt và có [imath]1[/imath] nghiệm chung.
Ta có [imath]x^2-x+m-2=-x^2+x+m+2=0 \Rightarrow (x^2-x+m-2)+(-x^2+x+m+2)=0 \Rightarrow 2m=0 \Rightarrow m=0[/imath]
Dễ thấy với [imath]m=0[/imath] thì [imath](1)[/imath] chỉ có [imath]1[/imath] nghiệm nên trường hợp này không thỏa mãn.
+ (1) có 2 nghiệm phân biệt và (2) có 1 nghiệm.
Giả sử phương trình [imath]x^2-x+m-2=0[/imath] có 2 nghiệm [imath]x_1,x_2[/imath] thì [imath]2[/imath] nghiệm này phải không nhỏ hơn [imath]2[/imath].
Mà theo định lí Vi-ét ta lại có [imath]x_1+x_2=1[/imath] nên không thể xảy ra cả [imath]2[/imath] nghiệm này không nhỏ hơn [imath]2[/imath].
Trường hợp này cũng không thỏa mãn.
+ (1) có 1 nghiệm và (2) có 2 nghiệm phân biệt.
Gọi [imath]x_1,x_2[/imath] là nghiệm của [imath]-x^2+x+m+2=0[/imath] thì [imath]x_1,x_2 <2[/imath].
[imath]\Leftrightarrow (x_1-2)(x_2-2)>0[/imath] và [imath]x_1+x_2<4[/imath]
Mà [imath]x_1+x_2=1[/imath] nên ta chỉ cần tìm [imath]m[/imath] sao cho [imath](x_1-2)(x_2-2)>0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x_1x_2-2(x_1+x_2)+4>0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow -(m+2)-2+4>0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow m<0[/imath].
Lại gọi [imath]x_3,x_4[/imath] là nghiệm của [imath]x^2-x+m-2=0[/imath] thì trong 2 nghiệm có 1 nghiệm lớn hơn 2, 1 nghiệm nhỏ hơn 2.
[imath]\Leftrightarrow (x_3-2)(x_4-2)<0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x_3x_4-2(x_3+x_4)+4<0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow m-2-2+4<0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow m<0[/imath]
Vậy [imath]-\dfrac{9}{4}<m<0[/imath] thỏa mãn đề bài.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Phương trình bậc hai một ẩn
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
