3. [TEX]|x-1|=\sqrt{|2x-m|} \Leftrightarrow (x-1)^2=|2x-m| \Leftrightarrow (x-1)^2=2x-m \vee (x-1)^2=m-2x \Leftrightarrow m=-x^2+4x-1(1) \vee m=x^2+1(2)[/TEX]
Nhận thấy để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì 2 phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt và 2 phương trình không có nghiệm chung.
[TEX](1)[/TEX] có 2 nghiệm phân biệt khi [TEX]m < 3[/TEX]
[TEX](2)[/TEX] có 2 nghiệm phân biệt khi [TEX]m>1[/TEX]
[TEX](1),(2)[/TEX] có nghiệm chung khi [TEX]-x^2+4x-1=x^2+1 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow m=2[/TEX]
Từ đó [TEX]a=1,b=3,c=2 \Rightarrow S=14[/TEX]
4. [TEX]2x^2+6x-(3x+1)\sqrt{4x-m}=m \Leftrightarrow 2x^2+2x+4x-m-(3x+1)\sqrt{4x-m}=0[/TEX]
Đặt [TEX]t=\sqrt{4x-m} \geq 0[/TEX]. Phương trình trở thành : [TEX]t^2-(3x+1)t+2x^2+2x=0 \Leftrightarrow (t-2x)(t-x-1)=0 \Leftrightarrow t=2x \vee t=x+1[/TEX]
Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm thì 2 phương trình trên đều phải có nghiệm, tức [TEX]x \geq 0[/TEX]
[TEX]t=2x \Rightarrow 4x-m=4x^2 \Rightarrow m=4x-4x^2(x \geq 0)[/TEX]
[TEX]t=x+1 \Rightarrow 4x-m=x^2+2x+1 \Rightarrow m=-(x-1)^2 (x \geq -1)[/TEX]
Phương trình ban đầu có 3 nghiệm trong các trường hợp sau:
+ 2 phương trình có 1 phương trình có 2 nghiệm, 1 phương trình có nghiệm kép và 2 phương trình không có nghiệm chung.
+ 2 phương trình đều có 2 nghiệm và có 1 nghiệm chung.
+ 2 phương trình đều có 2 nghiệm và có 1 nghiệm âm.
Nhận thấy 2 phương trình có 2 nghiệm chung khi [TEX]4x-4x^2=-(x-1)^2 \Rightarrow 3x^2-2x-1=0 \Leftrightarrow (x-1)(3x+1)=0 \Leftrightarrow x=1 \vee x=-\frac{1}{3} \Leftrightarrow m=0 \vee m=-\frac{16}{9}[/TEX]
+ TH1: Ta có [TEX]m \neq 0, m \neq -\frac{16}{9}[/TEX].
Phương trình thứ nhất có 2 nghiệm phân biệt khi [TEX]m <1[/TEX], có nghiệm kép khi [TEX]m=1[/TEX]
Phương trình thứ 2 có 2 nghiệm phân biệt khi [TEX]m<0[/TEX], có nghiệm kép khi [TEX]m=0[/TEX]
Vậy trường hợp này không có [TEX]m[/TEX] thỏa mãn.
+ TH2: Ta có [TEX]m=0 \vee m=\frac{-16}{9}[/TEX]
Nhận thấy không có [TEX]m[/TEX] thỏa mãn.
+ TH3: Nhận thấy để cả 2 phương trình có 2 nghiệm thì [TEX]m<0[/TEX].
Phương trình thứ nhất có 2 nghiệm trái dấu khi [TEX]m<0[/TEX], có 2 nghiệm không âm khi [TEX]0 \leq m \leq 1[/TEX]
Phương trình thứ 2 có 2 nghiệm trái dấu khi [TEX]m<-1[/TEX], có 2 nghiệm không âm khi [TEX]-1 \leq m \leq 0[/TEX]
Từ đó thì ta thấy [TEX]-1 \leq m < 0[/TEX]
Vậy [TEX]m \in [-1,0)[/TEX]
5. [TEX]x^2-x+m=\sqrt{2x-m} \Leftrightarrow x^2+x-2x+m=\sqrt{2x-m}[/TEX]
Đặt [TEX]\sqrt{2x-m}=t \geq 0[/TEX] thì phương trình ban đầu trở thành:
[TEX]x^2+x-t^2=t \Leftrightarrow t^2+t-x(x+1)=0 \Leftrightarrow (t-x)(t+x+1)=0 \Leftrightarrow t=x \vee t=-x-1 \Rightarrow 2x-m=x^2(x \geq 0) \vee 2x-m=x^2+2x+1(x \leq -1) \Rightarrow m=2x-x^2(x \geq 0) \vee m=-(x^2+1) (x \leq -1)[/TEX]
Xét các trường hợp:
+ 2 phương trình trên có 1 phương trình có 2 nghiệm phân biệt, 1 phương trình vô nghiệm.
Phương trình đầu tiên có 2 nghiệm phân biệt khi [TEX]m \in [0,1)[/TEX], vô nghiệm khi [TEX]m>1[/TEX]
Vì phương trình thứ 2 có không quá 2 nghiệm nên phương trình này phải vô nghiệm hay [TEX]m >-1[/TEX]
Kết hợp lại ta có [TEX]m \in [0,1)[/TEX]
+ 2 phương trình trên có nghiệm chung.
Khi đó [TEX]2x-x^2=-x^2-1 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}[/TEX]. Nhận thấy nghiệm này không thỏa mãn điều kiện của 2 phương trình nên trường hợp này không có [TEX]m[/TEX] thỏa mãn.
Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
