Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại x1, x2

[khuong123170]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)cho hàm số y=x^3 /3 -2mx^2 + 3mx
Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại x1, x2 sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:


D=m^2 / (x1 ^2 +4mx2-9m) + (x2 ^2 +4mx1-9m)/m^2

mình có DA câu này nhưng giải mình không hiểu lắm mong bạn giải chi tiết cho minh nha cam ơn bạn!

 

[king_wang.bbang]

1)cho hàm số y=x^3 /3 -2mx^2 + 3mx
Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại x1, x2 sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:


D=m^2 / (x1 ^2 +4mx2-9m) + (x2 ^2 +4mx1-9m)/m^2

mình có DA câu này nhưng giải mình không hiểu lắm mong bạn giải chi tiết cho minh nha cam ơn bạn!

$y' = {x^2} - 4mx + 3m$
Hàm số có cực trị khi y' = 0 có 2 nghệm phân biệt
$\begin{array}{l}
\Delta ' = 4{m^2} - 3m > 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
m > \dfrac{3}{4}
\end{array} \right.
\end{array}$
$D = \dfrac{{{m^2}}}{{x_1^2 + 4m{x_2} - 9m}} + \dfrac{{x_2^2 + 4m{x_1} - 9m}}{{{m^2}}}$
Vì x1, x2 là nghiệm của PT: y' = 0
$ \to \left\{ \begin{array}{l}
x_1^2 = 4m{x_1} - 3m\\
x_2^2 = 4m{x_2} - 3m\\
{x_1} + {x_2} = 4m
\end{array} \right.$
Thế vào D ta sẽ đc
$D = \dfrac{m}{{16m - 12}} + \dfrac{{16m - 12}}{m}$
Với điều kiện ở trên ta thấy $\dfrac{m}{{16m - 12}} > 0$ và $\dfrac{{16m - 12}}{m} > 0$

Suy ra $D \ge 2\sqrt {\dfrac{m}{{16m - 12}}.\dfrac{{16m - 12}}{m}} = 2$
Đẳng thức xảy ra khi
$\begin{array}{l}
\dfrac{m}{{16m - 12}} = \dfrac{{16m - 12}}{m}\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = \dfrac{4}{5}(nhan)\\
m = \dfrac{{12}}{{17}}(loai)
\end{array} \right.
\end{array}$