Toán 11 Tìm limUn

Thảo luận trong 'Dãy số cấp số cộng, cấp số nhân' bắt đầu bởi orangejuice312, 30 Tháng năm 2021.

Lượt xem: 81

  1. orangejuice312

    orangejuice312 Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    29
    Điểm thành tích:
    6
    Nơi ở:
    Sơn La
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Chuyen
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt sáu môn học.


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Cho dãy số [tex]U_n[/tex] thỏa mãn [tex]U_1= \frac{2008}{2009}[/tex] và [tex]U_n^{2}-2U_{n+1}-1=0[/tex]
    Tìm lim[tex]U_n[/tex].
    Mọi người giúp mình bài này với mình cảm ơn nhaa
     
  2. Mộc Nhãn

    Mộc Nhãn TMod Toán Cu li diễn đàn

    Bài viết:
    5,365
    Điểm thành tích:
    866
    Nơi ở:
    Hà Tĩnh
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Chuyên Hà Tĩnh

    Ta sẽ chứng minh được: [tex]-1 < u_n < 0 \forall n \geq 2 (1)[/tex]
    Thật vậy ta thấy [TEX]-1 < u_2 < 0[/TEX]. Giả sử (1) đúng tới n = k.
    Khi đó [TEX]-1 < u_k < 0[/TEX]. Ta có: [tex]-1 < \frac{-1}{2} < u_{k+1}=\frac{u_k^2-1}{2}< 0[/tex]
    Xét [tex]f(x)=\frac{x^2-1}{2} \forall x < 0[/tex]
    Khi đó [tex]f'(x)=x< 0[/tex] nên [TEX]f(x)[/TEX] nghịch biến.
    Từ đó [tex]u_3 < 0 < u_1\Rightarrow f(u_3) > f(u_1)\Rightarrow u_4 > u_2\Rightarrow f(u_4) < f(u_2)\Rightarrow u_5 < u_3\Rightarrow ...[/tex]
    Suy ra dãy [TEX](u_{2k})[/TEX] là dãy tăng, [TEX](u_{2k+1})[/TEX] là dãy giảm.
    Vì [TEX](u_n)[/TEX] bị chặn 2 phía nên [TEX](u_{2k}),(u_{2k+1})[/TEX] đều hội tụ.
    Đặt [tex]\lim u_{2k}=a<0, \lim u_{2k+1}=b<0[/tex]. Do f liên tục nên:
    [tex]\left\{\begin{matrix} \lim u_{2k+1}= \lim f(u_{2k})\\ \lim u_{2k+2}= \lim f(u_{2k+1}) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=f(a)=\frac{a^2-1}{2}\\ a=f(b)=\frac{b^2-1}{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow a=b[/tex] (do f nghịch biến)
    Từ đó [TEX](u_n)[/TEX] hội tụ, [TEX]\lim u_n=a[/TEX]
    Mà [tex]a=\frac{a^2-1}{2} < 0\Rightarrow a=1-\sqrt{2}\Rightarrow \lim u_n=1-\sqrt{2}[/tex]
     
    Tungtomorangejuice312 thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY