Ta sẽ chứng minh được: [tex]-1 < u_n < 0 \forall n \geq 2 (1)[/tex]
Thật vậy ta thấy [TEX]-1 < u_2 < 0[/TEX]. Giả sử (1) đúng tới n = k.
Khi đó [TEX]-1 < u_k < 0[/TEX]. Ta có: [tex]-1 < \frac{-1}{2} < u_{k+1}=\frac{u_k^2-1}{2}< 0[/tex]
Xét [tex]f(x)=\frac{x^2-1}{2} \forall x < 0[/tex]
Khi đó [tex]f'(x)=x< 0[/tex] nên [TEX]f(x)[/TEX] nghịch biến.
Từ đó [tex]u_3 < 0 < u_1\Rightarrow f(u_3) > f(u_1)\Rightarrow u_4 > u_2\Rightarrow f(u_4) < f(u_2)\Rightarrow u_5 < u_3\Rightarrow ...[/tex]
Suy ra dãy [TEX](u_{2k})[/TEX] là dãy tăng, [TEX](u_{2k+1})[/TEX] là dãy giảm.
Vì [TEX](u_n)[/TEX] bị chặn 2 phía nên [TEX](u_{2k}),(u_{2k+1})[/TEX] đều hội tụ.
Đặt [tex]\lim u_{2k}=a<0, \lim u_{2k+1}=b<0[/tex]. Do f liên tục nên:
[tex]\left\{\begin{matrix} \lim u_{2k+1}= \lim f(u_{2k})\\ \lim u_{2k+2}= \lim f(u_{2k+1}) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=f(a)=\frac{a^2-1}{2}\\ a=f(b)=\frac{b^2-1}{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow a=b[/tex] (do f nghịch biến)
Từ đó [TEX](u_n)[/TEX] hội tụ, [TEX]\lim u_n=a[/TEX]
Mà [tex]a=\frac{a^2-1}{2} < 0\Rightarrow a=1-\sqrt{2}\Rightarrow \lim u_n=1-\sqrt{2}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
