tìm lim [math](\frac{1}2 + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3} +...+ \frac{2n-1}{2^n})[/math]
Lê Gia KhiêmĐặt [imath]A=\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2^2} + \cdots + \dfrac{2n-1}{2^n}[/imath]
[imath]=2\left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{2^2} + \cdots + \dfrac{n}{2^n} \right) - \left ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \cdots + \dfrac{1}{2^n} \right)[/imath]
Giờ ta tính 2 cái ngoặc nha:
[imath]B=\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} +\cdots + \dfrac{1}{2^n} = 1 - \dfrac{1}{2^n}[/imath]
[imath]C=\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{2^2} + \cdots + \dfrac{n}{2^n} \\ \Rightarrow 2C = 1 + \dfrac{2}{2} + \cdots + \dfrac{n}{2^{n-1}}[/imath]
[imath]\Rightarrow C = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \cdots + \dfrac{1}{2^{n-1}} - \dfrac{n}{2^n}[/imath]
[imath]C = 2 -\dfrac{1}{2^{n-1}} - \dfrac{n}{2^n}[/imath]
[imath]\Rightarrow A = 3 - \dfrac{1}{2^{n-2}} - \dfrac{n}{2^{n-1}} + \dfrac{1}{2^n}[/imath]
Với [imath]n\geq 3 \Rightarrow 2^{n-1} > C^2 _n \Rightarrow \dfrac{n}{2^{n-1}} < \dfrac{2}{n-1}[/imath]
Mà [imath]\lim \dfrac{2}{n-1} = 0 \Rightarrow \lim \dfrac{n}{2^{n-1}} = 0[/imath]
Lại có: [imath]\lim \dfrac{1}{2^{n-2}} = \lim \dfrac{1}{2^n} = 0[/imath]
[imath]\Rightarrow \lim A = 3[/imath]
Bạn tham khảo kiến thức ở box này nhé:
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
