Xét [imath]k_0=\displaystyle \min _{x > 0} \dfrac{2x^4+4x^3+x+2}{2x^2+x}[/imath]. Ta sẽ chứng minh đây là [imath]k[/imath] lớn nhất thỏa mãn đề bài.
Thật vậy, cho [imath]a=b=x,c=\dfrac{1}{x^2}[/imath] thì ta có [imath]k \leq \dfrac{2x^4+4x^3+x+2}{2x^2+x}[/imath], suy ra [imath]k \leq k_0[/imath].
Xét [imath]k=k_0[/imath]. Nhận thấy [imath]k_0<3[/imath].
Đặt [imath]VT=f(a,b,c)[/imath] và [imath]t=\sqrt{ab}[/imath]. Không mất tính tổng quát, giả sử [imath]c=\max \lbrace a,b,c \rbrace[/imath]. Khi đó [imath]c \geq t[/imath]
Ta có [imath]f(a,b,c)-f(t,t,c)=(a+b-2t)(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{3k}{(a+b+c)(2t+c)})[/imath]
Nhận thấy [imath]a+b \geq 2\sqrt{ab}=2t, (a+b+c)(2t+c) \geq (2t+c)^2 \geq (3t)^2=9t^2 > 3kt^2[/imath] nên [imath]f(a,b,c) \geq f(t,t,c)[/imath].
Vậy ta chỉ cần xét bất đẳng thức trên với [imath]a=b=t,c=\dfrac{1}{t^2}[/imath]. Và hiển nhiên [imath]k=k_0[/imath] thỏa mãn (vì ta đã xét trước đó)
Suy ra [imath]k_0[/imath] là giá trị lớn nhất của [imath]k[/imath] thỏa mãn.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
