Toán 9 Tìm GTNN

[Nguyễn Chi Xuyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [imath]\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy[/imath] với [imath]x>0,y>0,x+y≤1[/imath]

 

[2712-0-3]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [imath]\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy[/imath] với [imath]x>0,y>0,x+y≤1[/imath]

Nguyễn Chi XuyênÁp dụng bất đẳng thức cộng mẫu ta có:
[imath]\dfrac{1}{x^2+y^2} + \dfrac{1}{2xy} \geq {4}{x^2+y^2+2xy} = \dfrac{4}{(x+y)^2} \geq 4[/imath] (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
[imath]4xy + \dfrac{1}{4xy} \geq 2[/imath] (2)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
[imath]4xy \leq (x+y)^2 \leq 1[/imath] (3)
Tách
[imath]\dfrac{1}{x^2+y^2} + \dfrac{2}{xy} + 4xy =(\dfrac{1}{x^2+y^2} + \dfrac{1}{2xy} ) + (4xy + \dfrac{1}{4xy}) + \dfrac{5}{4xy} \geq 4+2+5 = 11[/imath]
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi [imath]x=y=\dfrac{1}{2}[/imath]

Ngoài ra mời em tham khảo tại: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức