Toán 8 Tìm GTNN

[Only Normal]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z>0 ; $x+y \le 2z$
Tìm Min của $P =\dfrac{x}{y+z} +\dfrac{y}{z+x}- \dfrac{x+y}{2z}$
Dùng Svac-xơ để làm ạ.

 

[2712-0-3]

Cho x,y,z>0 ; $x+y \le 2z$
Tìm Min của $P =\dfrac{x}{y+z} +\dfrac{y}{z+x}- \dfrac{x+y}{2z}$
Dùng Svac-xơ để làm ạ.

Đặt [TEX]\frac{x}{z}=a;\frac{y}{z}= b \Rightarrow a+b\leq 2[/TEX]
Khi đó: [TEX]P=\frac{1}{\frac{y}{x}+\frac{z}{x}}+\frac{1}{\frac{z}{y}+\frac{x}{y}}-\frac{1}{2} ( \frac{x}{z}+\frac{y}{z}) [/TEX]
[TEX]P=\frac{1}{\frac{b}{a}+\frac{1}{a}} +\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{a}{b}} - \frac{1}{2} (a+b) [/TEX]
[TEX]P=\frac{a+b+1}{b+1} + \frac{a+b+1}{a+1} - \frac{1}{2}(a+b)-2[/TEX]
[TEX]\geq \frac{4(a+b+1)}{a+b+2}-\frac{1}{2} (a+b)-2[/TEX]
Đặt [TEX]0 < t=a+b\leq 2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P\geq \frac{4t+4}{t+2} - \frac{1}{2}t - 2 = \frac{t(2-t)}{2(t+2)} \geq 0 [/TEX](do [TEX]0<t\leq2)[/TEX]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=1 \Rightarrow x=y=z[/TEX]

 

[huyenhuyen5a12]

[tex]\frac{x}{y+z} + \frac{y}{x+z} - \frac{x+y}{2z} = \frac{x^2}{xy+xz} +\frac{y^2}{xy +yz} - \frac{x+y}{2z} \geq \frac{(x+y)^2}{z(x+y)+2xy} - \frac{x+y}{2z} \geq \frac{(x+y)^2}{4z^2} - \frac{x+y}{2z} = (\frac{x+y}{2z})^2 -\frac{x+y}{2z}[/tex]
Đặt [tex]\frac{x+y}{2z} =a => a^2 - a + \frac{1}{4} \geq \frac{-1}{4}[/tex]
Do đó Pmin = [tex]\frac{-1}{4}[/tex] . DBXRK [tex]x=y=\frac{z}{2}[/tex]
Bạn tham khảo thử ạ :v