Toán 9 tìm GTNN

[Hồ Bảo Trâm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1
Tìm GTNN của [tex](1+ \frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})[/tex]

 

[7 1 2 5]

[tex](1+ \frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})=\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}.\frac{c+1}{c}=\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}=\frac{abc+ab+bc+ca+a+b+c+1}{abc}=1+\frac{ab+bc+ca}{abc}+\frac{2}{abc}\geq 1+\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}+\frac{2}{(\frac{a+b+c}{3})^3}=1+\frac{2}{\frac{1}{27}}+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=1+54+\frac{9}{3\sqrt[3]{abc}}\geq 55+\frac{9}{a+b+c}=55+9=64[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]

 

[Hồ Bảo Trâm]

[tex](1+ \frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})=\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}.\frac{c+1}{c}=\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}=\frac{abc+ab+bc+ca+a+b+c+1}{abc}=1+\frac{ab+bc+ca}{abc}+\frac{2}{abc}\geq 1+\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}+\frac{2}{(\frac{a+b+c}{3})^3}=1+\frac{2}{\frac{1}{27}}+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=1+54+\frac{9}{3\sqrt[3]{abc}}\geq 55+\frac{9}{a+b+c}=55+9=64[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]

Bn có thể giải thích rõ răng hơn ở phần đấu [tex]\geq[/tex] đầu tiên đc ko

[tex](1+ \frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})=\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}.\frac{c+1}{c}=\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}=\frac{abc+ab+bc+ca+a+b+c+1}{abc}=1+\frac{ab+bc+ca}{abc}+\frac{2}{abc}\geq 1+\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}+\frac{2}{(\frac{a+b+c}{3})^3}=1+\frac{2}{\frac{1}{27}}+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=1+54+\frac{9}{3\sqrt[3]{abc}}\geq 55+\frac{9}{a+b+c}=55+9=64[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]

Dấu lớn hơn hoặc bằng đầu tiên á

 

[7 1 2 5]

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số ta có: [tex]ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{ab.bc.ca}=3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/tex]
[tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}\Rightarrow (\frac{a+b+c}{3})^3\geq abc\Rightarrow abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^3[/tex]

 

[Hồ Bảo Trâm]

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số ta có: [tex]ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{ab.bc.ca}=3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/tex]
[tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}\Rightarrow (\frac{a+b+c}{3})^3\geq abc\Rightarrow abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^3[/tex]

Thanks bn nhìu nhìu nha

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số ta có: [tex]ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{ab.bc.ca}=3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/tex]
[tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}\Rightarrow (\frac{a+b+c}{3})^3\geq abc\Rightarrow abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^3[/tex]

À thế tại sao phía sau đó lại là [tex]\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}[/tex]

 

[mbappe2k5]

À thế tại sao phía sau đó lại là [tex]\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}[/tex]

Thì [tex]\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}[/tex] còn gì. Lần sau nghĩ kĩ trước khi hỏi nhé.

 

[7 1 2 5]

[tex]\frac{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=\sqrt[3]{\frac{a^2b^2c^2}{a^3b^3c^3}}=\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}[/tex]