Tìm GTNN

T

tienqm123

dễ mà

Gọi độ dài cạnh là a
Chứng minh MN >= a/2
Từ đó suy ra MN nhỏ nhất =a/2
suy ra M;N là trung điểm BC;AC
 
P

phankyanhls2000

Kẻ ME//NF//AB
MN nhỏ nhất khi ME,NE,MN trùng nhau (ko bít CM)
Mà ME//NF//AB
\Rightarrow MN//AB
\Rightarrow MN là đường trung bình
 
V

vxc99

Kẻ CE vuông góc với AB
MN nhỏ nhất \Leftrightarrow MN vuông góc với CE
\Leftrightarrow MN là đường trung bình
 
H

huynhbachkhoa23

Lập luận kiểu mấy bạn thằng nhỏ mẫu giáo cũng lập luận được. Và lập luận cũng chả có cơ sở
$P$ là giao điểm của $AB$ với đường thẳng qua $N$ và song song với $BC$
Hiển nhiên $MP||AC$ nên $MP+NP=AB$ không đổi (1)
Gọi $M'$ và $M''$ lân lược là điểm đối xứng với $M$ qua $AB$ và $AC$
Khi đó $MN+MP+NP=M'P+PN+NM''$ (2)
Chú ý là $M'N||BC$ nên $MN$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $NM''||BC$ (có được điều này do (1) và (2)) hay $MNC$ đều, đồng nghĩa với việc $MN||AB$

Cách này vẫn chưa chắc ngắn nhất, mình toàn dùng định lý nên làm dài dòng thế
 
H

huynhbachkhoa23

$AB=BC=CA=a (const); NC=BM=x (var)$
Áp dụng định lý cosin:
$$MN^2=NC^2+MC^2-NC.MC=x^2+(a-x)^2-x(a-x)=3x^2-3ax+a^2$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$$3x^2+3\dfrac{a^2}{4} \ge 3ax \to 3x^2-3ax+a^2 \ge \dfrac{a^2}{4} \leftrightarrow MN \ge \dfrac{AB}{2}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $NC=\dfrac{a}{2}$
 
H

huynhbachkhoa23

Cách này có vẻ là ngắn nhất rồi.
Gọi $N', M'$ lần lược là hình chiếu của $M,N$ trên $AB$. $P$ là giao điểm của AB với đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$
Hiển nhiên $NP||BC$
$$NM \ge M'N'=\dfrac{AP+BP}{2}=\dfrac{AB}{2}$$
Vậy $MN$ lớn nhất khi và chỉ khi $MN||AB$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom